Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Дополнительные упражнения к главе IV, задание 521

Задача 1

Условие (кратко)

Доказать, что неравенство |x| + |y| ≤ 1 задаёт квадрат с вершинами (1; 0), (0; 1), (−1; 0), (0; −1) (рисунок 66). (повышенной трудности)

Решение

Множество симметрично относительно обеих осей: замена $$x$$ на $$-x$$ или $$y$$ на $$-y$$ неравенство не меняет. Поэтому достаточно рассмотреть первую четверть, $x \ge 0$ , $y \ge 0$ .

Там неравенство имеет вид $x + y \le 1$ , то есть $y \le 1 - x$ : это треугольник с вершинами $(0;\ 0)$ , $(1;\ 0)$ , $(0;\ 1)$ , ограниченный отрезком прямой $$x + y = 1$$ .

Отражая треугольник относительно осей, получаем в остальных четвертях треугольники, ограниченные отрезками $$-x + y = 1$$ , $$-x - y = 1$$ , $$x - y = 1$$ . Вместе они образуют квадрат с вершинами $(\pm1;\ 0)$ , $(0;\ \pm1)$ — фигуру на рисунке 66 (с границей).

Ответ

Доказано: в каждой четверти неравенство задаёт прямоугольный треугольник, вместе они образуют квадрат с вершинами (±1; 0), (0; ±1)

Почему так

Раскрываем модули в каждой координатной четверти и пользуемся симметрией относительно осей.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).