Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 524

Задача 1

Условие (кратко)

а) Каким множеством точек изображается множество решений неравенства y(x² + y² − 1) ≥ 0? (повышенной трудности)

Решение

Произведение неотрицательно, если множители одного знака или один равен нулю:

$y \ge 0$ и $x^2 + y^2 \ge 1$ — верхняя полуплоскость без внутренности полукруга радиуса 1;
$y \le 0$ и $x^2 + y^2 \le 1$ — нижний полукруг радиуса 1;
$$y = 0$$ — вся ось $$Ox$$ входит.

Вместе: верхняя полуплоскость (с осью $$Ox$$ ) без открытого верхнего полукруга, плюс нижний полукруг. Границы входят.

Координатная плоскость с единичной окружностью. Закрашены верхняя полуплоскость без внутренности верхнего полукруга и нижний полукруг; ось Ox и окружность входят в множество. — Сверху — точки вне круга, снизу — точки внутри круга; граница входит.

Ответ

Верхняя полуплоскость y ≥ 0 без внутренности полукруга x² + y² < 1, вместе с нижним полукругом x² + y² ≤ 1, y ≤ 0; границы входят

Почему так

Произведение неотрицательно, когда множители одного знака; граница — ось Ox и единичная окружность.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Каким множеством точек изображается множество решений неравенства x(x² − y) ≤ 0? (повышенной трудности)

Решение

Произведение неположительно, если множители разных знаков или один равен нулю:

$x \ge 0$ и $x^2 - y \le 0$ , то есть $y \ge x^2$ — в правой полуплоскости точки на параболе $$y = x^2$$ и над ней;
$x \le 0$ и $y \le x^2$ — в левой полуплоскости точки на параболе и под ней;
$$x = 0$$ — вся ось $$Oy$$ входит.

Граница — парабола $$y = x^2$$ и ось $$Oy$$ , входят в множество.

Парабола y = x² и ось Oy. Справа от оси закрашено всё над параболой, слева — всё под параболой; парабола и ось Oy входят в множество. — При x ≥ 0 — над параболой, при x ≤ 0 — под ней; граница входит.

Ответ

При x ≥ 0 — точки на параболе y = x² и выше неё, при x ≤ 0 — на параболе и ниже неё, вместе с осью Oy

Почему так

Произведение неположительно, когда множители разных знаков; границы — ось Oy и парабола y = x².

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-524/