Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 639

Задача 1

Условие (кратко)

а) Вычислить первые несколько членов последовательности: y₁ = −3, yₙ₊₁ − yₙ = 10. (повышенной трудности)

Решение

$y_{n+1} = y_n + 10$ — каждый член на 10 больше предыдущего:

y_1 = -3,\quad y_2 = 7,\quad y_3 = 17,\quad y_4 = 27,\quad y_5 = 37.

Ответ

−3; 7; 17; 27; 37; …

Почему так

Рекуррентная формула выражает следующий член через предыдущий.

Подробнее — в теме «Последовательности».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Вычислить первые несколько членов последовательности: y₁ = 10, yₙ₊₁ · yₙ = 2,5. (повышенной трудности)

Решение

$y_{n+1} = \dfrac{2{,}5}{y_n}$ :

y_2 = \dfrac{2{,}5}{10} = 0{,}25,\quad y_3 = \dfrac{2{,}5}{0{,}25} = 10,\quad y_4 = 0{,}25,\quad y_5 = 10.

Члены чередуются:

10;\ 0{,}25;\ 10;\ 0{,}25;\ \dots

Ответ

10; 0,25; 10; 0,25; 10; …

Почему так

Из рекуррентного условия выражаем yₙ₊₁ = 2,5/yₙ; значения повторяются через одно.

Подробнее — в теме «Последовательности».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Вычислить первые несколько членов последовательности: y₁ = 1,5, yₙ₊₁ − yₙ = n. (повышенной трудности)

Решение

$y_{n+1} = y_n + n$ :

y_2 = 1{,}5 + 1 = 2{,}5,\quad y_3 = 2{,}5 + 2 = 4{,}5,\quad y_4 = 4{,}5 + 3 = 7{,}5,\quad y_5 = 7{,}5 + 4 = 11{,}5.

Ответ

1,5; 2,5; 4,5; 7,5; 11,5; …

Почему так

Рекуррентная формула: к предыдущему члену прибавляем его номер.

Подробнее — в теме «Последовательности».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Вычислить первые несколько членов последовательности: y₁ = −4, yₙ₊₁ : yₙ = −n². (повышенной трудности)

Решение

$y_{n+1} = -n^2 \cdot y_n$ :

y_2 = -1 \cdot (-4) = 4,\quad y_3 = -4 \cdot 4 = -16,\quad y_4 = -9 \cdot (-16) = 144,\quad y_5 = -16 \cdot 144 = -2304.

Ответ

−4; 4; −16; 144; −2304; …

Почему так

Из условия yₙ₊₁ = −n² · yₙ: каждый член получаем умножением предыдущего на −n².

Подробнее — в теме «Последовательности».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-5/upr-639/