Какие последовательности конечные?

Трёхзначные числа в порядке возрастания

Дни недели по номерам от 1 до 7

Натуральные числа, кратные 7

Дроби 1/2, 1/3, 1/4, … без конца

Чем является график последовательности на координатной плоскости?

Отдельными точками с натуральными абсциссами

Прямой, проходящей через начало координат

Лучом, выходящим из точки (1; a₁)

Последовательности — 9 класс, алгебра: объяснение, примеры, задачи

Коротко о главном

Последовательность — это числа, записанные по порядку: у каждого есть номер 1, 2, 3, … Член с номером $$n$$ обозначают $$a_n$$ . Последовательность задают формулой $$n$$ -го члена или рекуррентно — через первый член и правило перехода к следующему.

a_n = f(n) \qquad \text{или} \qquad a_1 \text{ задан},\ a_{n+1} = g(a_n)

Подробное объяснение

Представьте очередь в кассу. У каждого человека своё место: первый, второй, третий… Если спросить «кто пятый?», ответ однозначен. Последовательность устроена так же, только в очереди стоят числа.

Члены и номера

Числа, из которых состоит последовательность, называют её членами. Каждому натуральному номеру $$n$$ соответствует ровно один член. Обозначают их буквой с индексом: $$a_1$$ — первый член, $$a_2$$ — второй, $$a_n$$ — $$n$$ -й, то есть член с номером $$n$$ . Всю последовательность записывают так: $$(a_n)$$ .

Важно не путать номер и значение. В последовательности $5;\ 10;\ 15;\ \ldots$ номер третьего члена равен 3, а сам член $$a_3 = 15$$ .

Соседние члены отличаются номером на 1: за $$a_n$$ идёт $a_{n+1}$ , перед ним стоит $a_{n-1}$ . За $a_{2n}$ следует $a_{2n+1}$ — к номеру прибавляют единицу, что бы он ни был.

Конечные и бесконечные

Если членов бесконечно много (все нечётные числа, все степени двойки), последовательность бесконечная. Если есть последний член (двузначные числа от 10 до 99, месяцы года), она конечная.

Формула n-го члена

Самый удобный способ — формула, по которой член вычисляют сразу по номеру. Например, $$a_n = 3n + 1$$ : подставили $$n = 10$$ и получили $a_{10} = 31$ , не считая предыдущих. Другой пример: $$x_n = (-1)^n$$ даёт $-1;\ 1;\ -1;\ 1;\ \ldots$ — знак меняется в зависимости от чётности номера.

Последовательность — это функция, у которой аргумент — натуральное число $$n$$ . Поэтому её график — не линия, а отдельные точки $(n;\ a_n)$ .

Координатная плоскость, по горизонтали номер n, по вертикали aₙ. Шесть отдельных точек (1; 6), (2; 3), (3; 2), (4; 1,5), (5; 1,2), (6; 1) лежат на пунктирной кривой y = 6/x, но сама кривая графиком не является. — График последовательности — отдельные точки (n; aₙ) с натуральными n, а не сплошная линия.

Рекуррентный способ

Иногда проще описать, как получить следующий член из предыдущего. Тогда указывают первый член (или несколько первых) и рекуррентную формулу, например: $$b_1 = 2$$ , $b_{n+1} = b_n + 3$ . Члены находят по цепочке: $2;\ 5;\ 8;\ 11;\ \ldots$ Слово происходит от латинского recurro — «возвращаться»: каждый раз возвращаемся к уже найденному члену.

Цепочка из четырёх рамок b₁ = 2, b₂ = 5, b₃ = 8, b₄ = 11, между соседними стрелки с подписью +3. Первый член задан, каждый следующий получается из предыдущего по правилу bₙ₊₁ = bₙ + 3. — Рекуррентный способ: зная первый член и правило перехода, члены находят по очереди.

Минус способа: чтобы найти $b_{100}$ , придётся пройти все 99 шагов, если не удастся найти формулу $$n$$ -го члена. Знаменитый пример — числа Фибоначчи: $$u_1 = u_2 = 1$$ , каждый следующий равен сумме двух предыдущих: $1;\ 1;\ 2;\ 3;\ 5;\ 8;\ 13;\ \ldots$

Как решать задачи

Определите, как задана последовательность: формулой $$n$$ -го члена, рекуррентно или словесным описанием.
Если дана формула $$n$$ -го члена — подставьте номер вместо $$n$$ и посчитайте. Степени $$(-1)^n$$ считайте по чётности $$n$$ .
Если задана рекуррентно — выпишите члены по очереди, начиная с заданных, каждый раз подставляя уже найденные.
Если спрашивают, является ли число членом последовательности, приравняйте формулу к числу и решите уравнение относительно $$n$$ : число — член, только если $$n$$ получилось натуральным.
Если ищут отрицательные (положительные) члены — решите неравенство и оставьте только натуральные $$n$$ .

Разобранные примеры

База

Члены по формуле n-го члена

Условие

Последовательность задана формулой $a_n = \dfrac{n + 2}{n}$ . Найдите первые три члена и $a_{50}$ .

Решение

$a_1 = \dfrac{3}{1} = 3$ , $a_2 = \dfrac{4}{2} = 2$ , $a_3 = \dfrac{5}{3}$ .

$a_{50} = \dfrac{52}{50} = 1{,}04$ .

Ответ: 3; 2; 5/3; a₅₀ = 1,04

База

Рекуррентно заданная последовательность

Условие

Последовательность задана условиями $$c_1 = 64$$ , $c_{n+1} = -\dfrac{c_n}{4}$ . Выпишите первые пять членов.

Решение

Каждый член делим на $$-4$$ :

$c_2 = -\dfrac{64}{4} = -16$ , $c_3 = -\dfrac{-16}{4} = 4$ , $c_4 = -\dfrac{4}{4} = -1$ , $c_5 = -\dfrac{-1}{4} = \dfrac{1}{4}$ .

Ответ: 64; −16; 4; −1; 1/4

Средний

Сколько у последовательности отрицательных членов

Условие

Последовательность задана формулой $$y_n = n^2 - 5n - 6$$ . Сколько у неё отрицательных членов?

Решение

Разложим на множители: $$n^2 - 5n - 6 = (n - 6)(n + 1)$$ . Произведение отрицательно при $$-1 < n < 6$$ .

Натуральные номера из этого промежутка: 1, 2, 3, 4, 5. При $$n = 6$$ член равен нулю — он не отрицательный.

Проверим: $$y_1 = -10$$ , $$y_5 = 25 - 25 - 6 = -6$$ , $$y_6 = 0$$ .

Ответ: 5 отрицательных членов (с номерами 1–5)

Типичные ошибки

Путают номер члена и его значение

Почему неверно

В последовательности $3;\ 7;\ 11;\ \ldots$ на вопрос «какой номер у члена 11?» отвечают «11». Но 11 — это значение, а номер — его место в ряду, здесь 3.

Как правильно

Номер всегда натуральное число, стоящее в индексе: $$a_3 = 11$$ читается «третий член равен 11».

Считают, что следующий за a₂ₙ член — a₂ₙ₊₂

Почему неверно

Рассуждают «номер умножен на 2, значит, и шаг 2». Но соседние члены всегда отличаются номером на 1, какой бы формулой номер ни был записан.

Как правильно

За $a_{2n}$ идёт $a_{2n+1}$ , перед $a_{3n}$ стоит $a_{3n-1}$ , за $a_{n-1}$ идёт $$a_n$$ .

Принимают дробный или отрицательный n

Почему неверно

Решая уравнение $$a_n = 100$$ , получают $$n = 12{,}5$$ и пишут « $a_{12,5} = 100$ ». Такого члена нет: номера бывают только натуральными.

Как правильно

Если $$n$$ не натуральное, число не является членом последовательности. В неравенствах тоже оставляйте только натуральные решения.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Последовательность задана формулой $$a_n = 4n - 7$$ . Найдите $$a_1$$ , $$a_5$$ и $a_{20}$ .

Подсказка

Подставьте вместо $$n$$ номер члена.

Решение

$a_1 = 4 \cdot 1 - 7 = -3$ , $a_5 = 4 \cdot 5 - 7 = 13$ , $a_{20} = 4 \cdot 20 - 7 = 73$ .

Ответ

a₁ = −3, a₅ = 13, a₂₀ = 73

База Задача 2

Последовательность задана условиями $$b_1 = 2$$ , $b_{n+1} = 3b_n$ . Выпишите её первые четыре члена.

Подсказка

Каждый следующий член в 3 раза больше предыдущего.

Решение

$$b_1 = 2$$ , $b_2 = 3 \cdot 2 = 6$ , $b_3 = 3 \cdot 6 = 18$ , $b_4 = 3 \cdot 18 = 54$ .

Ответ

2; 6; 18; 54

Средний Задача 3

Последовательность задана формулой $$c_n = n^2 - 8n$$ . Найдите номера отрицательных членов и наименьший член последовательности.

Подсказка

Разложите $$n^2 - 8n$$ на множители и решите неравенство $$n(n - 8) < 0$$ в натуральных числах.

Решение

$$c_n < 0$$ при $$n(n - 8) < 0$$ , то есть при $$0 < n < 8$$ . Натуральные номера: $n = 1, 2, \ldots, 7$ .

$$c_n = (n - 4)^2 - 16$$ , поэтому наименьшее значение — при $$n = 4$$ : $$c_4 = 16 - 32 = -16$$ .

Ответ

Номера 1–7; наименьший член c₄ = −16

Средний Задача 4

Является ли число 95 членом последовательности $$x_n = 6n - 1$$ ? А число 100? Если да, укажите номер.

Подсказка

Решите уравнение $$6n - 1 = 95$$ и проверьте, натуральное ли $$n$$ .

Решение

$$6n - 1 = 95$$ , $$6n = 96$$ , $$n = 16$$ — натуральное число, значит, $95 = x_{16}$ .

$$6n - 1 = 100$$ , $$6n = 101$$ , $n = \dfrac{101}{6}$ — не натуральное, значит, 100 не является членом последовательности.

Ответ

95 — шестнадцатый член; 100 — не член последовательности

Сложный Задача 5

Последовательность задана условиями $$u_1 = 1$$ , $$u_2 = 3$$ , $u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n$ . Найдите $$u_6$$ .

Подсказка

Считайте по очереди, каждый раз используя два предыдущих члена.

Решение

$u_3 = 3 + 2 \cdot 1 = 5$ , $u_4 = 5 + 2 \cdot 3 = 11$ , $u_5 = 11 + 2 \cdot 5 = 21$ , $u_6 = 21 + 2 \cdot 11 = 43$ .

Ответ

43

Сложный Задача 6

Подберите формулу n-го члена для последовательности $\dfrac{1}{3};\ \dfrac{2}{5};\ \dfrac{3}{7};\ \dfrac{4}{9};\ \ldots$ и найдите её десятый член.

Подсказка

Посмотрите отдельно на числители и знаменатели — как они связаны с номером?

Решение

Числитель равен номеру $$n$$ . Знаменатели 3, 5, 7, 9 — нечётные числа, начиная с 3, то есть $$2n + 1$$ . Значит, $a_n = \dfrac{n}{2n + 1}$ .

Проверка: $a_1 = \dfrac{1}{3}$ , $a_4 = \dfrac{4}{9}$ — совпадает. Тогда $a_{10} = \dfrac{10}{21}$ .

Ответ

aₙ = n/(2n + 1), a₁₀ = 10/21

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите стопку пронумерованных карточек и выложите в ряд числа 2, 4, 6, 8. Спросите, какое число будет на десятом месте и как это посчитать, не выкладывая все карточки (номер умножить на 2 — это формула $$n$$ -го члена). Затем покажите другой способ: «первое число 2, каждое следующее — на 2 больше» — это рекуррентное правило.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какой член стоит перед $a_{n+3}$ ? 2) Последовательность $$a_n = 5n$$ ; является ли число 52 её членом? 3) Чем рекуррентный способ неудобен, если нужен сотый член?

На что обратить внимание. Ребёнок должен твёрдо различать номер (индекс) и значение члена, а при поиске номера по значению проверять, что $$n$$ натуральное. Степени $$(-1)^n$$ — частое место для ошибки: при чётном $$n$$ получается 1, при нечётном $$-1$$ .

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 9 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 26	525, 526, 527, 528, 529, 530, 531, 532, 533, 534, 535, 536, 537, 538, 539