Задача 1
Условие (кратко)
На стороне угла от вершины отложены 12 равных отрезков, через их концы проведены параллельные прямые. Найти сумму длин параллельных отрезков между сторонами угла, если наименьший равен 3 см.
Решение
Дано
- 12 равных отрезков на стороне угла
- наименьший параллельный отрезок 3 см
Найти
- сумму длин 12 параллельных отрезков
\(k\)-й параллельный отрезок отсекает от угла треугольник, подобный первому с коэффициентом \(k\) (его сторона вдоль стороны угла в \(k\) раз длиннее). Поэтому длина \(k\)-го отрезка равна \(3k\) см: \(3,\ 6,\ 9,\ \dots,\ 36\) — арифметическая прогрессия с \(a_1 = 3\), \(d = 3\).
\[S_{12} = \dfrac{3 + 36}{2} \cdot 12 = 234 \text{ см}.\]
Ответ
234 см
Почему так
Длины параллельных отрезков пропорциональны расстояниям от вершины — это арифметическая прогрессия.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».