Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Сумму первых \(n\) членов арифметической прогрессии не нужно складывать по одному: достаточно первого и последнего членов и их количества.
Подробное объяснение
Попробуйте быстро сложить все числа от 1 до 100. Если складывать подряд, уйдёт много времени. Есть история, что маленький Карл Гаусс решил эту задачу за минуту. Он заметил, что \(1 + 100 = 101\), \(2 + 99 = 101\), \(3 + 98 = 101\) и так далее. Таких пар 50, значит, сумма равна \(101 \cdot 50 = 5050\).
Почему пары дают одну и ту же сумму
В арифметической прогрессии каждый следующий член больше предыдущего на \(d\). Если идти от начала вперёд, число растёт на \(d\), а если от конца назад — уменьшается на \(d\). Поэтому второй член плюс предпоследний равны первому плюс последнему:
Так же и для любой пары членов, одинаково удалённых от концов.
Вывод формулы
Обозначим сумму \(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\). Запишем её дважды: в прямом порядке и в обратном — и сложим столбиком.
В каждом столбике сумма равна \(a_1 + a_n\), а столбиков \(n\). Получаем \(2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n\), откуда
На схеме это видно наглядно: две одинаковые «лесенки» из клеток складываются в прямоугольник.
Смысл формулы простой: сумма равна среднему арифметическому первого и последнего членов, умноженному на число слагаемых.
Вторая формула
Часто последний член неизвестен, а известны \(a_1\) и \(d\). Подставим \(a_n = a_1 + (n - 1)d\):
Обе формулы дают одно и то же, просто выбирайте ту, для которой хватает данных.
Как решать задачи
- Убедитесь, что слагаемые образуют арифметическую прогрессию: разность соседних одинакова.
- Выпишите, что известно: \(a_1\), \(d\), \(a_n\), \(n\).
- Если сумма берётся «от числа до числа», найдите количество членов из \(a_n = a_1 + (n - 1)d\).
- Известен последний член — берите \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\); известна разность — \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n\).
- Если сумма считается не с первого члена (например, с 6-го по 25-й), считайте её как прогрессию, которая начинается с 6-го члена, или как разность \(S_{25} - S_5\).
- Если неизвестно \(n\), а сумма дана, составьте уравнение и оставьте только натуральный корень.
Разобранные примеры
Сумма по первому и последнему члену
В арифметической прогрессии \(a_1 = 7\), \(a_{20} = 64\). Найдите сумму первых двадцати членов.
\(S_{20} = \dfrac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \dfrac{7 + 64}{2} \cdot 20 = 71 \cdot 10 = 710\).
Сумма чисел из промежутка
Найдите сумму всех натуральных чисел от 30 до 90, которые при делении на 4 дают остаток 1.
Такие числа: \(33,\ 37,\ \ldots,\ 89\). Это прогрессия с \(a_1 = 33\), \(d = 4\).
Число членов: \(89 = 33 + 4(n - 1)\), \(n - 1 = 14\), \(n = 15\).
\(S_{15} = \dfrac{33 + 89}{2} \cdot 15 = 61 \cdot 15 = 915\).
Сумма с середины прогрессии
Первый член арифметической прогрессии равен 50, разность равна −3. Найдите сумму членов с 11-го по 30-й включительно.
\(a_{11} = 50 + 10 \cdot (-3) = 20\), \(a_{30} = 50 + 29 \cdot (-3) = -37\).
Членов с 11-го по 30-й: \(30 - 11 + 1 = 20\).
\(S = \dfrac{20 + (-37)}{2} \cdot 20 = -17 \cdot 10 = -170\).
Проверка через разность сумм: \(S_{30} = \dfrac{100 - 87}{2} \cdot 30 = 195\), \(S_{10} = \dfrac{100 - 27}{2} \cdot 10 = 365\), \(195 - 365 = -170\).
Типичные ошибки
Произведение \((a_1 + a_n) \cdot n\) — это сумма двух копий прогрессии, то есть \(2S_n\), а не \(S_n\).
\(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\). Удобно проверить себя на малом примере: \(1 + 2 + 3 = 6\), а \(\dfrac{1 + 3}{2} \cdot 3 = 6\).
Чисел от 20 до 120 не 100, а 101: оба края входят в счёт. Для чисел с шагом 4 от 4 до 300 количество тоже не \(300 - 4\).
Находите \(n\) из формулы \(a_n = a_1 + (n - 1)d\). Для подряд идущих чисел от \(k\) до \(m\) включительно их \(m - k + 1\).
От первого члена до \(n\)-го прогрессия делает \(n - 1\) шаг, а не \(n\). Ошибка сдвигает каждый член на \(d\).
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\) и \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n\). Проверка: при \(n = 1\) формула должна дать \(S_1 = a_1\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равна сумма \(1 + 2 + 3 + \ldots + 100\)?
Показать ответ
Ответ: В) 5050
Пар с суммой \(1 + 100 = 101\) ровно 50, поэтому \(S = 101 \cdot 50 = 5050\).
-
В арифметической прогрессии \(a_1 = 3\), \(a_{10} = 21\). Найдите \(S_{10}\).
Показать ответ
Ответ: 120
\(S_{10} = \dfrac{3 + 21}{2} \cdot 10 = 120\).
-
Какие формулы верно выражают сумму первых \(n\) членов арифметической прогрессии?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2; В) Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) · n / 2
Верны \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\) и, после подстановки \(a_n = a_1 + (n - 1)d\), \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n\). Без деления на 2 получится удвоенная сумма.
-
Чему равна сумма первых \(n\) нечётных чисел \(1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)\)?
Показать ответ
Ответ: В) Квадрату числа n
\(S_n = \dfrac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = n^2\).
-
Найдите сумму \(5 + 8 + 11 + \ldots + 32\).
Показать ответ
Ответ: 185
Здесь \(d = 3\), \(32 = 5 + 3(n - 1)\), \(n = 10\). \(S_{10} = \dfrac{5 + 32}{2} \cdot 10 = 185\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
В арифметической прогрессии a₁ = 4, a₁₂ = 37. Найдите сумму первых двенадцати членов.
Подсказка
Известны первый и последний члены — подойдёт формула Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2.
Решение
\(S_{12} = \dfrac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12 = \dfrac{4 + 37}{2} \cdot 12 = 41 \cdot 6 = 246\).
Ответ
Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии 2; 7; 12; …
Подсказка
Найдите разность d и воспользуйтесь формулой Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n/2.
Решение
Разность \(d = 7 - 2 = 5\).
\(S_{10} = \dfrac{2 \cdot 2 + 9 \cdot 5}{2} \cdot 10 = \dfrac{49}{2} \cdot 10 = 245\).
Ответ
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 6.
Подсказка
Это арифметическая прогрессия с разностью 6. Найдите её первый и последний члены и число членов.
Решение
Двузначные числа, кратные 6: \(12,\ 18,\ \ldots,\ 96\). Это арифметическая прогрессия, \(a_1 = 12\), \(d = 6\).
Число членов: \(96 = 12 + 6(n - 1)\), откуда \(n - 1 = 14\), \(n = 15\).
\(S_{15} = \dfrac{12 + 96}{2} \cdot 15 = 54 \cdot 15 = 810\).
Ответ
В арифметической прогрессии a₅ = 11, a₉ = 23. Найдите сумму первых шестнадцати членов.
Подсказка
Между a₅ и a₉ четыре шага разности d. Найдите d, затем a₁.
Решение
\(a_9 - a_5 = 4d\), то есть \(4d = 12\), \(d = 3\). Тогда \(a_1 = a_5 - 4d = 11 - 12 = -1\).
\(S_{16} = \dfrac{2 \cdot (-1) + 15 \cdot 3}{2} \cdot 16 = \dfrac{43}{2} \cdot 16 = 344\).
Ответ
Сколько первых членов арифметической прогрессии 1; 4; 7; … нужно сложить, чтобы получить 590?
Подсказка
Запишите Sₙ через n и решите квадратное уравнение Sₙ = 590. Число членов — натуральное.
Решение
Здесь \(a_1 = 1\), \(d = 3\), поэтому \(S_n = \dfrac{2 + 3(n - 1)}{2} \cdot n = \dfrac{(3n - 1)n}{2}\).
Уравнение \(\dfrac{(3n - 1)n}{2} = 590\) даёт \(3n^2 - n - 1180 = 0\). Дискриминант \(D = 1 + 12 \cdot 1180 = 14\,161 = 119^2\).
\(n = \dfrac{1 + 119}{6} = 20\); второй корень отрицательный и не подходит.
Проверка: \(a_{20} = 1 + 57 = 58\), \(S_{20} = \dfrac{1 + 58}{2} \cdot 20 = 590\).
Ответ
Сумма первых n членов арифметической прогрессии при любом n равна Sₙ = 3n² + 2n. Найдите первый член и разность прогрессии.
Подсказка
S₁ — это сам первый член, а a₂ = S₂ − S₁.
Решение
\(a_1 = S_1 = 3 + 2 = 5\).
\(S_2 = 12 + 4 = 16\), поэтому \(a_2 = S_2 - S_1 = 16 - 5 = 11\).
\(d = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6\).
Проверка по формуле: \(\dfrac{2 \cdot 5 + 6(n - 1)}{2} \cdot n = (3n + 2)n = 3n^2 + 2n\) — совпадает.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите монеты или кубики и выложите «лесенку»: 1, 2, 3, 4, 5 штук в ряд. Рядом выложите такую же лесенку, перевёрнутую. Вместе получится прямоугольник 5 на 6 — 30 штук, значит, в одной лесенке 15. Затем вспомните историю про Гаусса и сумму от 1 до 100: пары 1 + 100, 2 + 99… дают по 101, пар 50.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему в формуле делят на 2? 2) Сколько чисел от 15 до 40 включительно? 3) Чему равна сумма 2 + 4 + 6 + … + 20?
На что обратить внимание. Главные ошибки — потерянное деление на 2 и неверное число членов. Попросите ребёнка всегда проверять формулу на маленьком примере, который легко сложить вручную.