Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 654

Задача 1

Условие (кратко)

а) В арифметической прогрессии d = −0,4, n = 12, aₙ = 2,4. Найти a₁ и Sₙ.

Решение

$a_{12} = a_1 + 11d$ , откуда $a_1 = 2{,}4 + 11 \cdot 0{,}4 = 6{,}8$ .

S_{12} = \dfrac{6{,}8 + 2{,}4}{2} \cdot 12 = 4{,}6 \cdot 12 = 55{,}2.

Ответ

a₁ = 6,8, Sₙ = 55,2

Почему так

Из формулы n-го члена находим a₁, затем сумму.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».

Задача 2

Условие (кратко)

б) В арифметической прогрессии a₁ = −35, d = 5, Sₙ = 250. Найти n и aₙ.

Решение

$S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n = \dfrac{-70 + 5n - 5}{2} \cdot n = 250$ , то есть $$(5n - 75)n = 500$$ , $$n^2 - 15n - 100 = 0$$ .

Корни $$n = 20$$ и $$n = -5$$ ; номер натуральный, $$n = 20$$ . Тогда $a_{20} = -35 + 19 \cdot 5 = 60$ .

Ответ

n = 20, aₙ = 60

Почему так

Формула суммы даёт квадратное уравнение относительно n; берём натуральный корень.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».

Задача 3

Условие (кратко)

в) В арифметической прогрессии d = 1/2, aₙ = 50, Sₙ = 2525. Найти a₁ и n.

Решение

$a_1 = a_n - (n - 1)d = 50 - \dfrac{n - 1}{2}$ . Подставляем в $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ :

\left(100 - \dfrac{n - 1}{2}\right)\dfrac{n}{2} = 2525 \;\Rightarrow\; (201 - n)n = 10100 \;\Rightarrow\; n^2 - 201n + 10100 = 0.

\(D = 40401 - 40400 = 1\)

\(n = 100\)

или

\(n = 101\)

. Оба подходят: при

\(n = 100\)

a_1 = 50 - 49{,}5 = 0{,}5

; при

\(n = 101\)

\(a_1 = 50 - 50 = 0\)

(первый член равен нулю, сумма та же).

Ответ

a₁ = 0,5, n = 100 или a₁ = 0, n = 101

Почему так

Выражаем a₁ через n и подставляем в формулу суммы — получаем квадратное уравнение с двумя натуральными корнями.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».

Задача 4

Условие (кратко)

г) В арифметической прогрессии a₁ = −1/2, aₙ = −29 1/2, Sₙ = −450. Найти d и n.

Решение

$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \dfrac{-0{,}5 - 29{,}5}{2} \cdot n = -15n = -450$ , откуда $$n = 30$$ .

$d = \dfrac{a_n - a_1}{n - 1} = \dfrac{-29{,}5 + 0{,}5}{29} = -1.$

Ответ

d = −1, n = 30

Почему так

Из Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n сразу находим n, затем d.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-5/upr-654/