Задача 1
Условие (кратко)
В арифметической прогрессии 2; 5; 8; … члены с чётными номерами заменили противоположными. Записать формулу n-го члена новой последовательности (xₙ) и найти сумму её первых 50 членов. (повышенной трудности)
Решение
У исходной прогрессии \(a_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1\). Знак меняется у чётных номеров:
\[x_n = (-1)^{n+1}(3n - 1).\]
Сгруппируем члены парами: \(x_{2k-1} + x_{2k} = (6k - 4) - (6k - 1) = -3\). В 50 членах 25 пар:
\[S_{50} = 25 \cdot (-3) = -75.\]
Ответ
xₙ = (−1)ⁿ⁺¹(3n − 1); S₅₀ = −75
Почему так
Разбиваем сумму на пары соседних членов — каждая пара даёт −d = −3.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».