Задача 1
Условие (кратко)
а) Упростить выражение (x · x² · x³ · … · xⁿ)/(x · x³ · x⁵ · … · x²ⁿ⁻¹). (повышенной трудности)
Решение
Показатель числителя: \(1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}\). Показатель знаменателя: \(1 + 3 + \dots + (2n - 1) = \dfrac{1 + 2n - 1}{2} \cdot n = n^2\).
\[\dfrac{x^{\frac{n(n+1)}{2}}}{x^{n^2}} = x^{\frac{n^2 + n - 2n^2}{2}} = x^{\frac{n - n^2}{2}}.\]
Ответ
x в степени (n − n²)/2
Почему так
При умножении степеней показатели складываются; суммы показателей — суммы арифметических прогрессий.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».