Задача 1
Условие (кратко)
Является ли (xₙ) арифметической прогрессией, если Sₙ = n² − 8n? Найти пятый член этой последовательности. (повышенной трудности)
Решение
\(x_1 = S_1 = 1 - 8 = -7\). При \(n \ge 2\):
\[x_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - 8n - \big((n - 1)^2 - 8(n - 1)\big) = 2n - 9.\]
При \(n = 1\) формула тоже даёт \(-7\), значит, \(x_n = 2n - 9\) для всех \(n\); \(x_{n+1} - x_n = 2\) — это арифметическая прогрессия.
\(x_5 = 2 \cdot 5 - 9 = 1\).
Ответ
Да; x₅ = 1
Почему так
Член последовательности равен разности сумм: xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».