Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 667

Задача 1

Условие (кратко)

а) Является ли (xₙ) арифметической прогрессией, если Sₙ = −n² + 3n? (повышенной трудности)

Решение

$$x_1 = S_1 = 2$$ . При $n \ge 2$ : $x_n = S_n - S_{n-1} = -n^2 + 3n + (n - 1)^2 - 3(n - 1) = -2n + 4$ .

При $$n = 1$$ эта формула даёт $$2 = x_1$$ . Значит, $$x_n = -2n + 4$$ при всех $$n$$ — арифметическая прогрессия с $$d = -2$$ , её члены $2,\ 0,\ -2,\ \dots$

Ответ

Да

Почему так

Находим xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ и проверяем, подходит ли эта формула для x₁ = S₁.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Является ли (xₙ) арифметической прогрессией, если Sₙ = 2n² − 1? (повышенной трудности)

Решение

$$x_1 = S_1 = 1$$ . При $n \ge 2$ : $$x_n = 2n^2 - 1 - 2(n - 1)^2 + 1 = 4n - 2$$ : $$x_2 = 6$$ , $$x_3 = 10$$ .

$$x_2 - x_1 = 5$$ , а $$x_3 - x_2 = 4$$ — разности не равны. Не прогрессия (формула $$4n - 2$$ дала бы $$x_1 = 2$$ , а не 1).

Ответ

Нет

Почему так

Находим xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ и проверяем, подходит ли эта формула для x₁ = S₁.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Является ли (xₙ) арифметической прогрессией, если Sₙ = n² + 2n − 8? (повышенной трудности)

Решение

$$x_1 = S_1 = -5$$ . При $n \ge 2$ : $$x_n = n^2 + 2n - 8 - (n - 1)^2 - 2(n - 1) + 8 = 2n + 1$$ : $$x_2 = 5$$ , $$x_3 = 7$$ .

$$x_2 - x_1 = 10$$ , $$x_3 - x_2 = 2$$ . Не прогрессия.

Ответ

Нет

Почему так

Находим xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ и проверяем, подходит ли эта формула для x₁ = S₁.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Является ли (xₙ) арифметической прогрессией, если Sₙ = 6n + 5? (повышенной трудности)

Решение

$$x_1 = S_1 = 11$$ . При $n \ge 2$ : $$x_n = 6n + 5 - 6(n - 1) - 5 = 6$$ : $$x_2 = x_3 = 6$$ .

$$x_2 - x_1 = -5$$ , $$x_3 - x_2 = 0$$ . Не прогрессия.

Ответ

Нет

Почему так

Находим xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ и проверяем, подходит ли эта формула для x₁ = S₁.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-5/upr-667/