Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 677

Задача 1

Условие (кратко)

а) В геометрической прогрессии q = −1/3, n = 5, Sₙ = 20 1/3. Найти x₁ и xₙ.

Решение

S_5 = \dfrac{x_1(1 - q^5)}{1 - q} = \dfrac{x_1\left(1 + \frac{1}{243}\right)}{\frac43} = x_1 \cdot \dfrac{244}{243} \cdot \dfrac34 = \dfrac{61}{81}x_1.

$\dfrac{61}{81}x_1 = \dfrac{61}{3}$ , $$x_1 = 27$$ ; $x_5 = 27 \cdot \left(-\dfrac13\right)^4 = \dfrac13$ .

Ответ

x₁ = 27, xₙ = 1/3

Почему так

Sₙ = x₁(1 − qⁿ)/(1 − q) — уравнение относительно x₁.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 2

Условие (кратко)

б) В геометрической прогрессии x₁ = 11, xₙ = 88, Sₙ = 165. Найти q и n.

Решение

$S_n = \dfrac{x_nq - x_1}{q - 1}$ , поэтому $$165(q - 1) = 88q - 11$$ , $$77q = 154$$ , $$q = 2$$ .

$x_n = 11 \cdot 2^{n-1} = 88$ , $2^{n-1} = 8$ , $$n = 4$$ . Проверка: $$11 + 22 + 44 + 88 = 165$$ .

Ответ

q = 2, n = 4

Почему так

Формула Sₙ = (xₙq − x₁)/(q − 1) даёт уравнение для q.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 3

Условие (кратко)

в) В геометрической прогрессии x₁ = 1/2, q = −1/2, Sₙ = 21/64. Найти n и xₙ.

Решение

S_n = \dfrac{\frac12\left(1 - \left(-\frac12\right)^n\right)}{\frac32} = \dfrac{1 - \left(-\frac12\right)^n}{3} = \dfrac{21}{64}.

$1 - \left(-\dfrac12\right)^n = \dfrac{63}{64}$ , $\left(-\dfrac12\right)^n = \dfrac{1}{64}$ , $$n = 6$$ . $x_6 = \dfrac12 \cdot \left(-\dfrac12\right)^5 = -\dfrac{1}{64}$ .

Ответ

n = 6, xₙ = −1/64

Почему так

Sₙ = x₁(1 − qⁿ)/(1 − q) — находим qⁿ, затем n.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 4

Условие (кратко)

г) В геометрической прогрессии q = √3, xₙ = 18√3, Sₙ = 26√3 + 24. Найти x₁ и n.

Решение

$S_n = \dfrac{x_nq - x_1}{q - 1} = \dfrac{54 - x_1}{\sqrt3 - 1}$ , поэтому

54 - x_1 = (26\sqrt3 + 24)(\sqrt3 - 1) = 78 - 26\sqrt3 + 24\sqrt3 - 24 = 54 - 2\sqrt3,

x_1 = 2\sqrt3

. Далее

18\sqrt3 = 2\sqrt3 \cdot (\sqrt3)^{n-1}

(\sqrt3)^{n-1} = 9 = (\sqrt3)^4

\(n = 5\)

Ответ

x₁ = 2√3, n = 5

Почему так

Формула Sₙ = (xₙq − x₁)/(q − 1) даёт x₁, затем n из xₙ = x₁qⁿ⁻¹.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-5/upr-677/