По какой формуле находят сумму первых n членов геометрической прогрессии при q \ne 1?

Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)

Какие утверждения верны для геометрической прогрессии?

При q = 1 сумма первых n членов равна nb₁

При q ≠ 1 сумма равна (bₙq − b₁)/(q − 1)

При q ≠ 1 сумма равна b₁(1 − qⁿ)/(1 − q)

Формулу b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) можно применять и при q = 1

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена

Коротко о главном

Сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии со знаменателем $q \ne 1$ находится по формуле ниже. Если $$q = 1$$ , все члены равны $$b_1$$ и $$S_n = nb_1$$ .

S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}

Подробное объяснение

Представьте цепочку: вы рассказали новость двум друзьям, назавтра каждый из них — ещё двоим, и так далее. В первый день узнали 2 человека, во второй — 4, в третий — 8. Сколько человек узнают новость за 10 дней? Складывать десять чисел, которые всё время удваиваются, долго. Но есть приём, который даёт ответ сразу.

Как вывести формулу

Пусть $$(b_n)$$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $$q$$ , а $$S_n$$ — сумма её первых $$n$$ членов:

S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_{n-1} + b_n.

Умножим обе части на $$q$$ . Каждый член, умноженный на $$q$$ , превращается в следующий: $$b_1 q = b_2$$ , $$b_2 q = b_3$$ и так далее. Поэтому

S_n q = b_2 + b_3 + \ldots + b_n + b_n q.

Сравните две строки: почти все слагаемые у них общие, только вторая сдвинута на одно место. В первой есть $$b_1$$ , которого нет во второй, а во второй — $$b_n q$$ , которого нет в первой.

Две строки: Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ и под ней Sₙq = b₂ + b₃ + … + bₙ + bₙq, сдвинутая на одно место. Одинаковые члены сокращаются, при вычитании остаётся Sₙq − Sₙ = bₙq − b₁. — Умножение на q сдвигает сумму на один член, поэтому при вычитании остаются только bₙq и b₁.

Вычтем из второго равенства первое — общие слагаемые сократятся:

S_n q - S_n = b_n q - b_1, \quad S_n(q - 1) = b_n q - b_1.

Если $q \ne 1$ , на $$q - 1$$ можно разделить:

S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}.

Подставим $b_n = b_1 q^{n-1}$ , тогда $$b_n q = b_1 q^n$$ и получится главная формула:

S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}, \quad q \ne 1.

Здесь $$b_1$$ — первый член, $$q$$ — знаменатель, $$n$$ — сколько членов складываем. Обратите внимание: в сумме стоит $$q^n$$ , а в формуле $$n$$ -го члена — $q^{n-1}$ .

Случай q = 1

Тогда все члены равны первому: $b_1, b_1, b_1, \ldots$ Сумма $$n$$ таких чисел равна $$S_n = nb_1$$ . Формулой с дробью пользоваться нельзя — в знаменателе был бы ноль.

Полезная сумма степеней

Сумма $1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1}$ — это сумма $$n$$ членов прогрессии с $$b_1 = 1$$ и $$q = x$$ . При $x \ne 1$ она равна $\dfrac{x^n - 1}{x - 1}$ . Например, $1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{9} = 2^{10} - 1 = 1023$ .

Вернёмся к цепочке: $2 + 4 + \ldots + 2^{10} = \dfrac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2046$ человек.

Как решать задачи

Выпишите, что известно: $$b_1$$ , $$q$$ , $$n$$ , какой-то другой член или сумма.
Если $$q$$ не дан — найдите его: $$q = b_2 : b_1$$ или из $b_k = b_m q^{k-m}$ . Если получилось $$q^2 = 9$$ , проверьте оба значения $q = \pm 3$ по условию.
Если не дан $$b_1$$ — найдите его из $b_n = b_1 q^{n-1}$ .
Проверьте, не равен ли $$q$$ единице. Если $$q = 1$$ , то $$S_n = nb_1$$ .
Подставьте в $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ . Если известен последний член $$b_n$$ , удобнее $S_n = \dfrac{b_n q - b_1}{q - 1}$ .
Степень отрицательного числа берите в скобки: $$(-2)^6 = 64$$ , $$(-2)^5 = -32$$ .
При небольшом $$n$$ проверьте ответ прямым сложением.

Разобранные примеры

База

Сумма по первому члену и знаменателю

Условие

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии с $$b_1 = 5$$ и $$q = 2$$ .

Решение

Известны $$b_1$$ и $$q$$ , подставляем в формулу:

S_6 = \frac{5(2^6 - 1)}{2 - 1} = 5 \cdot 63 = 315.

Проверка: $$5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 = 315$$ .

Ответ: 315

Средний

Сумма по двум членам прогрессии

Условие

В геометрической прогрессии $$b_2 = -6$$ , $$b_5 = 48$$ . Найдите сумму первых семи её членов.

Решение

$$b_5 = b_2 q^3$$ , поэтому $q^3 = \dfrac{48}{-6} = -8$ , $$q = -2$$ . Тогда $b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{-6}{-2} = 3$ .

S_7 = \frac{3\left((-2)^7 - 1\right)}{-2 - 1} = \frac{3 \cdot (-129)}{-3} = 129.

Проверка: $$3 - 6 + 12 - 24 + 48 - 96 + 192 = 129$$ .

Ответ: 129

Сложный

Сумма по двум суммам

Условие

В геометрической прогрессии $$b_1 + b_2 = 6$$ , а $$b_2 + b_3 = 18$$ . Найдите сумму первых пяти её членов.

Решение

$$b_2 + b_3 = b_1 q + b_2 q = q(b_1 + b_2)$$ , поэтому $q = \dfrac{18}{6} = 3$ .

Тогда $$b_1 + 3b_1 = 4b_1 = 6$$ , $b_1 = 1{,}5$ .

S_5 = \frac{1{,}5(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{1{,}5 \cdot 242}{2} = 181{,}5.

Проверка: $$1{,}5 + 4{,}5 + 13{,}5 + 40{,}5 + 121{,}5 = 181{,}5$$ .

Ответ: 181,5

Типичные ошибки

Пишут в формуле суммы q в степени n − 1

Почему неверно

Степень $q^{n-1}$ — из формулы $$n$$ -го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$ . В сумме после умножения на $$q$$ остаётся $$b_n q = b_1 q^n$$ . Если подставить $q^{n-1}$ , для $$b_1 = 1$$ , $$q = 2$$ , $$n = 3$$ получится $\dfrac{2^2 - 1}{1} = 3$ , а на самом деле $$1 + 2 + 4 = 7$$ .

Как правильно

$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ — показатель равен числу слагаемых. При малом $$n$$ сверяйте с прямым сложением.

Теряют скобки при отрицательном знаменателе

Почему неверно

Запись $$-2^6$$ означает $$-(2^6) = -64$$ , а $$(-2)^6 = 64$$ . Без скобок меняется знак всего ответа.

Как правильно

Отрицательный знаменатель всегда подставляйте в скобках: $\dfrac{3\left((-2)^6 - 1\right)}{-2 - 1} = \dfrac{3 \cdot 63}{-3} = -63$ . Помните: чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна.

Из q² = 4 берут только q = 2

Почему неверно

У уравнения $$q^2 = 4$$ два корня: $$2$$ и $$-2$$ . Если в условии нет подсказки о знаках членов, подходят обе прогрессии, и сумм тоже две.

Как правильно

Рассмотрите оба значения $$q$$ . Отбросить одно можно только по условию: «все члены положительны» — значит, $$q > 0$$ ; «знаки чередуются» — значит, $$q < 0$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой $$b_1 = 2$$ , $$q = 3$$ .

Подсказка

Подставьте в формулу $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ значения $$n = 5$$ , $$b_1 = 2$$ , $$q = 3$$ .

Решение

$S_5 = \dfrac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = 3^5 - 1 = 243 - 1 = 242$ . Проверка сложением — $$2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242$$ .

Ответ

242

База Задача 2

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии 7; 14; 28; …

Подсказка

Знаменатель равен частному второго и первого членов.

Решение

$$b_1 = 7$$ , $q = \dfrac{14}{7} = 2$ . $S_6 = \dfrac{7(2^6 - 1)}{2 - 1} = 7 \cdot 63 = 441$ .

Ответ

441

Средний Задача 3

В геометрической прогрессии $$b_4 = -24$$ , $$q = -2$$ . Найдите сумму первых восьми её членов.

Подсказка

Сначала найдите $$b_1$$ из равенства $$b_4 = b_1 q^3$$ .

Решение

$$q^3 = -8$$ , поэтому $b_1 = \dfrac{-24}{-8} = 3$ . $S_8 = \dfrac{3\left((-2)^8 - 1\right)}{-2 - 1} = \dfrac{3 \cdot 255}{-3} = -255$ .

Ответ

−255

Средний Задача 4

Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии, у которой $$b_1 = 64$$ , $q = \dfrac{1}{2}$ .

Подсказка

Знаменатель формулы получится отрицательным, числитель тоже — частное положительно.

Решение

$S_7 = \dfrac{64\left(\frac{1}{128} - 1\right)}{\frac{1}{2} - 1} = 128 \cdot \dfrac{127}{128} = 127$ .

Ответ

127

Сложный Задача 5

Найдите сумму $1 + 3 + 9 + 27 + \ldots + 729$ .

Подсказка

Сначала выясните, каким по счёту членом прогрессии является число 729.

Решение

Это геометрическая прогрессия с $$b_1 = 1$$ , $$q = 3$$ . Её члены — степени тройки: $b_n = 3^{n-1}$ . Так как $$729 = 3^6$$ , то $$n - 1 = 6$$ , $$n = 7$$ . $S_7 = \dfrac{3^7 - 1}{3 - 1} = \dfrac{2186}{2} = 1093$ .

Ответ

1093

Сложный Задача 6

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии со знаменателем 3 равна 26. Найдите сумму первых шести её членов.

Подсказка

Запишите сумму трёх членов через $$b_1$$ — получится $$b_1(1 + 3 + 9)$$ .

Решение

$$b_1 + 3b_1 + 9b_1 = 13b_1 = 26$$ , $$b_1 = 2$$ . $S_6 = \dfrac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = 3^6 - 1 = 728$ .

Ответ

728

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги и сложите пополам, ещё раз пополам и так 5 раз — каждый раз число слоёв удваивается: 2, 4, 8, 16, 32. Спросите ребёнка, сколько всего слоёв «насчитали» за все сгибы. Сложите вместе, а потом покажите приём: запишите сумму $$S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32$$ , под ней удвоенную $$2S = 4 + 8 + 16 + 32 + 64$$ и вычтите — останется $$S = 64 - 2 = 62$$ . Это и есть вывод формулы.

Вопросы для проверки понимания:

Почему при выводе формулы сумму умножают именно на $$q$$ ?
Чем отличается сумма при $$q = 1$$ и почему для неё нужна отдельная формула?
Как найти сумму, если известны только $$b_3$$ и $$b_5$$ ?

На что обратить внимание. Ребёнок должен различать формулу $$n$$ -го члена ( $q^{n-1}$ ) и формулу суммы ( $$q^n$$ ), ставить скобки вокруг отрицательного $$q$$ и не забывать второй корень, когда знаменатель находят из $$q^2$$ . Хорошая привычка — при небольшом $$n$$ проверять ответ сложением.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 9 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 30	615, 616, 617, 618, 619, 620, 621, 622, 623, 624, 625, 626, 627, 628