Задача 1
Условие (кратко)
Сумма первых n членов (xₙ) равна Sₙ = 3/4 · (5ⁿ − 1). Доказать, что (xₙ) — геометрическая прогрессия, найти знаменатель и первый член. (повышенной трудности)
Решение
\(x_1 = S_1 = \dfrac34 \cdot 4 = 3\). При \(n \ge 2\):
\[x_n = S_n - S_{n-1} = \dfrac34(5^n - 5^{n-1}) = \dfrac34 \cdot 4 \cdot 5^{n-1} = 3 \cdot 5^{n-1}.\]
При \(n = 1\) формула даёт \(3 = x_1\), значит, \(x_n = 3 \cdot 5^{n-1}\) для всех \(n\), и \(\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = 5\) — геометрическая прогрессия.
Ответ
q = 5, x₁ = 3
Почему так
Член последовательности равен Sₙ − Sₙ₋₁; формула вида 3 · 5ⁿ⁻¹ задаёт геометрическую прогрессию.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».