Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 680

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить с помощью формулы суммы геометрической прогрессии: 1 + x + x² + x³ + x⁴, где x ≠ 1 и x ≠ 0.

Решение

Это сумма пяти членов прогрессии с $$b_1 = 1$$ , $$q = x$$ :

1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = \dfrac{x^5 - 1}{x - 1}.

Ответ

(x⁵ − 1)/(x − 1)

Почему так

Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить с помощью формулы суммы геометрической прогрессии: 1 − x + x² − x³ + x⁴ − x⁵ + x⁶, где x ≠ −1 и x ≠ 0.

Решение

Семь членов прогрессии с $$b_1 = 1$$ , $$q = -x$$ :

S_7 = \dfrac{1 - (-x)^7}{1 - (-x)} = \dfrac{x^7 + 1}{x + 1}.

Ответ

(x⁷ + 1)/(x + 1)

Почему так

Знакочередующаяся сумма — геометрическая прогрессия со знаменателем −x.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-5/upr-680/