Задача 1
Найти десять рациональных чисел между 0,001 и 0,01 и несколько иррациональных чисел в этом промежутке.
Решение
Между \(0{,}001\) и \(0{,}01\) лежат все десятичные дроби вида \(0{,}00\ldots\) с первой значащей цифрой в тысячных, кроме самих концов. Рациональные (конечные дроби):
\(0{,}002;\ 0{,}003;\ 0{,}004;\ 0{,}005;\ 0{,}006;\ 0{,}007;\ 0{,}008;\ 0{,}009;\ 0{,}0015;\ 0{,}0025\).
Иррациональные получим, поделив известные иррациональные числа на \(1000\): \(\dfrac{\sqrt2}{1000} \approx 0{,}00141\), \(\dfrac{\sqrt5}{1000} \approx 0{,}00224\), \(\dfrac{\pi}{1000} \approx 0{,}00314\). Каждое из них лежит между \(0{,}001\) и \(0{,}01\), а частное иррационального числа и рационального (не нуля) — иррационально. Ещё пример — бесконечная непериодическая дробь \(0{,}00101001000100001\ldots\)
Ответ
Между любыми двумя различными числами есть бесконечно много и рациональных, и иррациональных чисел.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».