Задача 1
Доказать, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел (делитель не равен нулю) — рациональные числа.
Решение
Пусть \(\dfrac mn\) и \(\dfrac pq\) — рациональные числа: \(m, n, p, q\) — целые, \(n \ne 0\), \(q \ne 0\).
Разность. \(\dfrac mn - \dfrac pq = \dfrac{mq - np}{nq}\). Произведения и разность целых чисел — целые, поэтому \(mq - np\) — целое; \(nq\) — целое и не равно нулю как произведение ненулевых чисел. Разность — отношение целого числа к ненулевому целому, т. е. рациональное число.
Произведение. \(\dfrac mn \cdot \dfrac pq = \dfrac{mp}{nq}\): \(mp\) — целое, \(nq \ne 0\) — целое. Произведение рационально.
Частное. Делитель не равен нулю, значит, \(p \ne 0\). \(\dfrac mn : \dfrac pq = \dfrac{mq}{np}\): \(mq\) — целое, \(np\) — целое и \(np \ne 0\), так как \(n \ne 0\) и \(p \ne 0\). Частное рационально.
Ответ
Рациональное число — это отношение целого числа к ненулевому целому, а множество целых чисел замкнуто относительно вычитания и умножения.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».