Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 10

Упражнение 134 к § 10

§ 10. Графики функций y = ax² + n и y = a(x − m)² · тема: Графики функций y = ax² + n и y = a(x − m)²

Задача 1

Условие (кратко)

а) Изобразите схематически графики y = ½x², y = ½x² + 4, y = ½x² − 3, отметьте вершины и направление ветвей.

Решение

Все три параболы получаются из $y = \dfrac12x^2$ сдвигом вдоль оси $$y$$ , коэффициент $a = \dfrac12 > 0$ — ветви направлены вверх.

$y = \dfrac12x^2$ — вершина $(0;\ 0)$ ;
$y = \dfrac12x^2 + 4$ — сдвиг на 4 вверх, вершина $(0;\ 4)$ ;
$y = \dfrac12x^2 - 3$ — сдвиг на 3 вниз, вершина $(0;\ -3)$ .

Опорные точки для $y = \dfrac12x^2$ :

$$x$$	−4	−2	0	2	4
$$y$$	8	2	0	2	8

Для двух других графиков к каждому значению $$y$$ прибавьте 4 или вычтите 3. Все три параболы одинаковой формы и имеют общую ось симметрии $$x = 0$$ .

Ответ

Вершины (0; 0), (0; 4), (0; −3); у всех ветви вверх

Почему так

График y = ax² + n — парабола y = ax², сдвинутая вдоль оси y на n единиц.

Подробнее — в теме «Графики функций y = ax² + n и y = a(x − m)²».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Изобразите схематически графики y = −⅓x², y = −⅓x² + 2, y = −⅓x² − 1, отметьте вершины и направление ветвей.

Решение

Коэффициент $a = -\dfrac13 < 0$ — у всех трёх парабол ветви направлены вниз.

$y = -\dfrac13x^2$ — вершина $(0;\ 0)$ ;
$y = -\dfrac13x^2 + 2$ — сдвиг на 2 вверх, вершина $(0;\ 2)$ ;
$y = -\dfrac13x^2 - 1$ — сдвиг на 1 вниз, вершина $(0;\ -1)$ .

Опорные точки для $y = -\dfrac13x^2$ :

$$x$$	−6	−3	0	3	6
$$y$$	−12	−3	0	−3	−12

Для остальных графиков к значениям $$y$$ прибавьте 2 или вычтите 1.

Ответ

Вершины (0; 0), (0; 2), (0; −1); у всех ветви вниз

Почему так

График y = ax² + n — парабола y = ax², сдвинутая вдоль оси y на n единиц.

Подробнее — в теме «Графики функций y = ax² + n и y = a(x − m)²».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Изобразите схематически графики y = ⅕x², y = ⅕(x − 3)², y = ⅕(x + 3)², отметьте вершины и направление ветвей.

Решение

Коэффициент $a = \dfrac15 > 0$ — ветви вверх. Теперь параболы сдвигаются вдоль оси $$x$$ .

$y = \dfrac15x^2$ — вершина $(0;\ 0)$ ;
$y = \dfrac15(x - 3)^2$ — сдвиг на 3 вправо, вершина $(3;\ 0)$ ;
$y = \dfrac15(x + 3)^2 = \dfrac15(x - (-3))^2$ — сдвиг на 3 влево, вершина $(-3;\ 0)$ .

Опорные точки для $y = \dfrac15x^2$ :

$$x$$	−5	0	5
$$y$$	5	0	5

Для второго графика сдвиньте каждую точку на 3 вправо, для третьего — на 3 влево. Оси симметрии: $$x = 0$$ , $$x = 3$$ , $$x = -3$$ .

Ответ

Вершины (0; 0), (3; 0), (−3; 0); у всех ветви вверх

Почему так

График y = a(x − m)² — парабола y = ax², сдвинутая вдоль оси x на m единиц.

Подробнее — в теме «Графики функций y = ax² + n и y = a(x − m)²».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки