Задача 1
Условие (кратко)
При каких значениях a функция y = ax² − 5 имеет нули? (повышенной трудности)
Решение
При \(a = 0\) функция \(y = -5\) нулей не имеет. При \(a \ne 0\): \(ax^2 - 5 = 0\), \(x^2 = \dfrac5a\). Решения есть, только если \(\dfrac5a > 0\), то есть \(a > 0\); тогда \(x = \pm\sqrt{\dfrac5a}\).
Графически: вершина \((0;\ -5)\) лежит ниже оси \(x\), и парабола пересекает эту ось, только если ветви направлены вверх.
В ответах учебника указано «при a < 0» — это не согласуется с условием \(y = ax^2 - 5\): например, при \(a = -1\) уравнение \(-x^2 - 5 = 0\) корней не имеет, а при \(a = 5\) нули \(x = \pm1\) есть.
Ответ
При a > 0
Почему так
Парабола с вершиной ниже оси x пересекает эту ось, только если её ветви направлены вверх.
Подробнее — в теме «Графики функций y = ax² + n и y = a(x − m)²».