Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 11

Упражнение 149 к § 11

§ 11. Построение графика квадратичной функции · тема: Построение графика квадратичной функции

Задача 1

Условие (кратко)

а) Тело брошено вверх с высоты h₀ = 20 м со скоростью v₀ = 15 м/с; h = −gt²/2 + v₀t + h₀, g ≈ 10 м/с². По графику (рис. 33) найдите, сколько времени тело поднималось.

Решение

Дано

$$h_0 = 20$$ м
$$v_0 = 15$$ м/с
$g \approx 10$ м/с²

Найти

время подъёма

Формула: $$h = -5t^2 + 15t + 20$$ . Её график — парабола с ветвями вниз. Тело поднимается, пока не достигнет вершины.

По графику вершина находится при $$t = 1{,}5$$ с. Проверим по формуле: $t_0 = -\dfrac{15}{2 \cdot (-5)} = 1{,}5$ с.

Ответ

1,5 с

Почему так

Тело поднимается до вершины параболы, абсцисса вершины t₀ = −b/(2a).

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) По графику h = −5t² + 15t + 20 (рис. 33) найдите, сколько времени тело опускалось вниз.

Решение

Дано

$$h = -5t^2 + 15t + 20$$

Найти

время спуска

Спуск начинается в вершине при $$t = 1{,}5$$ с и заканчивается, когда $$h = 0$$ . По графику это $$t = 4$$ с (проверка: $-5 \cdot 16 + 60 + 20 = 0$ ).

Время спуска: $$4 - 1{,}5 = 2{,}5$$ с.

Ответ

2,5 с

Почему так

Спуск длится от момента, соответствующего вершине параболы, до нуля функции.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 3

Условие (кратко)

в) По графику h = −5t² + 15t + 20 (рис. 33) найдите наибольшую высоту, которой достигло тело.

Решение

Дано

$$h = -5t^2 + 15t + 20$$

Найти

$h_{\max}$

Наибольшая высота — ордината вершины. По графику она чуть больше 30 м. Точно: $h(1{,}5) = -5 \cdot 2{,}25 + 22{,}5 + 20 = 31{,}25$ м.

Ответ

31,25 м

Почему так

При ветвях вниз наибольшее значение функции — ордината вершины параболы.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 4

Условие (кратко)

г) По графику h = −5t² + 15t + 20 (рис. 33) найдите, через сколько секунд тело упало на землю.

Решение

Дано

$$h = -5t^2 + 15t + 20$$

Найти

$$t$$
при котором $$h = 0$$

По графику парабола пересекает ось $$t$$ при $$t = 4$$ . Проверка: $$-5t^2 + 15t + 20 = 0$$ , $$t^2 - 3t - 4 = 0$$ , $$t_1 = 4$$ , $$t_2 = -1$$ (не подходит, время положительно).

Ответ

4 с

Почему так

Момент падения — положительный нуль функции h(t).

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки