Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 11

Упражнение 151 к § 11

§ 11. Построение графика квадратичной функции · тема: Построение графика квадратичной функции

Задача 1

Условие (кратко)

а) Постройте график y = −x² + 2x + 8 и найдите по нему значения функции при x = 2,5; −0,5; −3.

Решение

$$a = -1 < 0$$ — ветви вниз. $x_0 = -\dfrac{2}{-2} = 1$ , $$y_0 = -1 + 2 + 8 = 9$$ ; вершина $(1;\ 9)$ , ось $$x = 1$$ .

Нули: $$x^2 - 2x - 8 = 0$$ , $$x_1 = -2$$ , $$x_2 = 4$$ . С осью $$y$$ — $(0;\ 8)$ .

$$x$$	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
$$y$$	−7	0	5	8	9	8	5	0	−7

По графику: при $$x = 2{,}5$$ и $$x = -0{,}5$$ (точки симметричны относительно $$x = 1$$ ) $y \approx 6{,}8$ ; при $$x = -3$$ $$y = -7$$ .

Точно: $$y(2{,}5) = -6{,}25 + 5 + 8 = 6{,}75$$ ; $$y(-0{,}5) = -0{,}25 - 1 + 8 = 6{,}75$$ ; $$y(-3) = -9 - 6 + 8 = -7$$ .

Ответ

6,75; 6,75; −7 (по графику ≈ 6,8; 6,8; −7)

Почему так

Значение функции по графику — ордината точки параболы с данной абсциссой.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) По графику y = −x² + 2x + 8 найдите значения аргумента, при которых y = 6; 0; −2.

Решение

Проводим горизонтальные прямые $$y = 6$$ , $$y = 0$$ , $$y = -2$$ и смотрим абсциссы точек пересечения с параболой (вершина $(1;\ 9)$ , ветви вниз).

$$y = 6$$ : $x \approx -0{,}7$ и $x \approx 2{,}7$ . Точно: $$x^2 - 2x - 2 = 0$$ , $x = 1 \pm \sqrt{3}$ .
$$y = 0$$ : $$x = -2$$ и $$x = 4$$ .
$$y = -2$$ : $x \approx -2{,}3$ и $x \approx 4{,}3$ . Точно: $$x^2 - 2x - 10 = 0$$ , $x = 1 \pm \sqrt{11}$ .

Каждая пара симметрична относительно прямой $$x = 1$$ .

Ответ

y = 6 при x ≈ −0,7 и 2,7 (1 ± √3); y = 0 при x = −2 и 4; y = −2 при x ≈ −2,3 и 4,3 (1 ± √11)

Почему так

Значения аргумента находят как абсциссы точек пересечения параболы с горизонтальной прямой.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 3

Условие (кратко)

в) По графику y = −x² + 2x + 8 найдите нули функции и промежутки знакопостоянства.

Решение

Парабола с вершиной $(1;\ 9)$ и ветвями вниз пересекает ось $$x$$ в точках $$x = -2$$ и $$x = 4$$ — это нули.

Между нулями график выше оси $$x$$ : $$y > 0$$ при $x \in (-2;\ 4)$ . Левее $$-2$$ и правее $$4$$ график ниже оси: $$y < 0$$ при $x \in (-\infty;\ -2) \cup (4;\ +\infty)$ .

Ответ

нули −2 и 4; y > 0 при x ∈ (−2; 4); y < 0 при x ∈ (−∞; −2) ∪ (4; +∞)

Почему так

У параболы с ветвями вниз значения положительны между нулями и отрицательны вне них.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 4

Условие (кратко)

г) По графику y = −x² + 2x + 8 найдите промежутки возрастания и убывания функции и множество её значений.

Решение

Вершина $(1;\ 9)$ , ветви вниз. Слева от вершины график поднимается, справа — опускается.

Функция возрастает на $(-\infty;\ 1]$ и убывает на $[1;\ +\infty)$ . Наибольшее значение — 9, наименьшего нет, поэтому $E(y) = (-\infty;\ 9]$ .

Ответ

возрастает на (−∞; 1], убывает на [1; +∞); E(y) = (−∞; 9]

Почему так

Возрастание сменяется убыванием в вершине параболы, а её ордината ограничивает множество значений.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки