Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 11

Упражнение 152 к § 11

§ 11. Построение графика квадратичной функции · тема: Построение графика квадратичной функции

Задача 1

Условие (кратко)

а) Постройте график y = 2x² + 8x + 2 и найдите по нему значения y при x = −2,3; −0,5; 1,2.

Решение

$$a = 2 > 0$$ — ветви вверх. $x_0 = -\dfrac{8}{4} = -2$ , $$y_0 = 8 - 16 + 2 = -6$$ ; вершина $(-2;\ -6)$ , ось $$x = -2$$ . С осью $$y$$ — $(0;\ 2)$ .

$$x$$	−4	−3	−2	−1	0	1
$$y$$	2	−4	−6	−4	2	12

По графику: $y(-2{,}3) \approx -5{,}8$ , $y(-0{,}5) \approx -1{,}5$ , $y(1{,}2) \approx 14{,}5$ .

Точно: $$y(-2{,}3) = 10{,}58 - 18{,}4 + 2 = -5{,}82$$ ; $$y(-0{,}5) = 0{,}5 - 4 + 2 = -1{,}5$$ ; $$y(1{,}2) = 2{,}88 + 9{,}6 + 2 = 14{,}48$$ .

Ответ

−5,82; −1,5; 14,48 (по графику ≈ −5,8; −1,5; 14,5)

Почему так

Значение функции по графику — ордината точки параболы с данной абсциссой.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) По графику y = 2x² + 8x + 2 найдите значения x, при которых y = −4; −1; 1,7.

Решение

Проводим прямые $$y = -4$$ , $$y = -1$$ , $$y = 1{,}7$$ и читаем абсциссы точек пересечения (вершина $(-2;\ -6)$ , ветви вверх).

$$y = -4$$ : $$x = -3$$ и $$x = -1$$ (точно: $$x^2 + 4x + 3 = 0$$ ).
$$y = -1$$ : $x \approx -3{,}6$ и $x \approx -0{,}4$ (точно: $$2x^2 + 8x + 3 = 0$$ , $x = -2 \pm \dfrac{\sqrt{10}}{2}$ ).
$$y = 1{,}7$$ : $x \approx -4$ и $x \approx 0$ (точно: $2x^2 + 8x + 0{,}3 = 0$ , $x \approx -3{,}96$ и $x \approx -0{,}04$ ).

Ответ

y = −4 при x = −3 и −1; y = −1 при x ≈ −3,6 и −0,4; y = 1,7 при x ≈ −4,0 и 0,0

Почему так

Значения аргумента находят как абсциссы точек пересечения параболы с горизонтальной прямой.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 3

Условие (кратко)

в) По графику y = 2x² + 8x + 2 найдите нули функции и промежутки знакопостоянства.

Решение

По графику парабола пересекает ось $$x$$ примерно в точках $$-3{,}7$$ и $$-0{,}3$$ . Точно: $$x^2 + 4x + 1 = 0$$ , $x = -2 \pm \sqrt{3}$ .

Ветви вверх, поэтому $$y < 0$$ между нулями: $x \in (-2 - \sqrt{3};\ -2 + \sqrt{3})$ ; $$y > 0$$ при $x \in (-\infty;\ -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3};\ +\infty)$ .

Ответ

нули −2 − √3 ≈ −3,7 и −2 + √3 ≈ −0,3; y < 0 между ними, y > 0 левее −2 − √3 и правее −2 + √3

Почему так

У параболы с ветвями вверх значения отрицательны между нулями и положительны вне них.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 4

Условие (кратко)

г) По графику y = 2x² + 8x + 2 найдите промежутки возрастания и убывания и наименьшее значение функции.

Решение

Вершина $(-2;\ -6)$ , ветви вверх. Функция убывает на $(-\infty;\ -2]$ и возрастает на $[-2;\ +\infty)$ .

Наименьшее значение — ордината вершины: $y_{\min} = -6$ при $$x = -2$$ .

Ответ

убывает на (−∞; −2], возрастает на [−2; +∞); наименьшее значение −6

Почему так

При ветвях вверх наименьшее значение функции — ордината вершины, в ней убывание сменяется возрастанием.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки