Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 11

Упражнение 153 к § 11

§ 11. Построение графика квадратичной функции · тема: Построение графика квадратичной функции

Задача 1

Условие (кратко)

а) Постройте график функции y = (1/3)x² − 4x + 4 и опишите её свойства.

Решение

$a = \dfrac{1}{3} > 0$ — ветви вверх. $x_0 = -\dfrac{-4}{2 \cdot \frac{1}{3}} = 6$ , $$y_0 = 12 - 24 + 4 = -8$$ . Вершина $(6;\ -8)$ , ось $$x = 6$$ .

Нули: $\dfrac{1}{3}x^2 - 4x + 4 = 0$ , $$x^2 - 12x + 12 = 0$$ , $x = 6 \pm 2\sqrt{6}$ ( $\approx 1{,}1$ и $\approx 10{,}9$ ).

$$x$$	0	3	6	9	12
$$y$$	4	−5	−8	−5	4

Свойства:

область определения — все числа;
нули $6 - 2\sqrt{6}$ и $6 + 2\sqrt{6}$ ;
$$y < 0$$ при $x \in (6 - 2\sqrt{6};\ 6 + 2\sqrt{6})$ , $$y > 0$$ вне этого промежутка;
убывает на $(-\infty;\ 6]$ , возрастает на $[6;\ +\infty)$ ;
наименьшее значение $$-8$$ при $$x = 6$$ , наибольшего нет; $E(y) = [-8;\ +\infty)$ .

Ответ

вершина (6; −8), ветви вверх; нули 6 ± 2√6; убывает на (−∞; 6], возрастает на [6; +∞); E(y) = [−8; +∞)

Почему так

Свойства квадратичной функции читаются по вершине, направлению ветвей и нулям.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Постройте график функции y = −(1/4)x² + x − 1 и опишите её свойства.

Решение

$a = -\dfrac{1}{4} < 0$ — ветви вниз. $x_0 = -\dfrac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = 2$ , $$y_0 = -1 + 2 - 1 = 0$$ . Вершина $(2;\ 0)$ лежит на оси $$x$$ : $y = -\dfrac{1}{4}(x - 2)^2$ .

$$x$$	−2	0	2	4	6
$$y$$	−4	−1	0	−1	−4

Свойства:

область определения — все числа;
единственный нуль $$x = 2$$ ;
$$y < 0$$ при всех $x \ne 2$ ;
возрастает на $(-\infty;\ 2]$ , убывает на $[2;\ +\infty)$ ;
наибольшее значение $$0$$ при $$x = 2$$ ; $E(y) = (-\infty;\ 0]$ .

Ответ

вершина (2; 0), ветви вниз; нуль x = 2; y < 0 при x ≠ 2; возрастает на (−∞; 2], убывает на [2; +∞); E(y) = (−∞; 0]

Почему так

Если вершина лежит на оси x, у функции один нуль и она не меняет знак.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Постройте график функции y = x² + 3x и опишите её свойства.

Решение

$$a = 1 > 0$$ — ветви вверх. $x_0 = -\dfrac{3}{2} = -1{,}5$ , $y_0 = 2{,}25 - 4{,}5 = -2{,}25$ . Вершина $(-1{,}5;\ -2{,}25)$ .

Нули: $$x(x + 3) = 0$$ , $$x = -3$$ и $$x = 0$$ .

$$x$$	−4	−3	−2	−1,5	−1	0	1
$$y$$	4	0	−2	−2,25	−2	0	4

Свойства:

область определения — все числа;
нули $$-3$$ и $$0$$ ;
$$y < 0$$ при $x \in (-3;\ 0)$ , $$y > 0$$ при $x \in (-\infty;\ -3) \cup (0;\ +\infty)$ ;
убывает на $(-\infty;\ -1{,}5]$ , возрастает на $[-1{,}5;\ +\infty)$ ;
наименьшее значение $$-2{,}25$$ ; $E(y) = [-2{,}25;\ +\infty)$ .

Ответ

вершина (−1,5; −2,25), ветви вверх; нули −3 и 0; убывает на (−∞; −1,5], возрастает на [−1,5; +∞); E(y) = [−2,25; +∞)

Почему так

Свойства квадратичной функции читаются по вершине, направлению ветвей и нулям.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки