Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 11

Упражнение 161 к § 11

§ 11. Построение графика квадратичной функции · тема: Построение графика квадратичной функции

Задача 1

Условие (кратко)

а) Функция задаётся формулой y = ax² + bx + c. По графику (рис. 35, а) найдите a, b и c.

Решение

По рисунку: ветви вниз, вершина $(0;\ 5)$ на оси $$y$$ , парабола проходит через точки $(2;\ 4)$ и $(-2;\ 4)$ .

Вершина на оси $$y$$ , поэтому $$b = 0$$ , а $$c = 5$$ . Из $$y(2) = 4a + 5 = 4$$ получаем $a = -\dfrac{1}{4}$ .

Функция: $y = -\dfrac{1}{4}x^2 + 5$ .

Ответ

a = −1/4, b = 0, c = 5

Почему так

Вершина и ещё одна точка графика однозначно задают параболу y = a(x − m)² + n.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Функция задаётся формулой y = ax² + bx + c. По графику (рис. 35, б) найдите a, b и c.

Решение

По рисунку: ветви вверх, вершина $(2;\ -5)$ , ось $$y$$ парабола пересекает в точке $(0;\ -3)$ , значит, $$c = -3$$ .

Запишем $$y = a(x - 2)^2 - 5$$ . Подставим $$x = 0$$ и получим $$4a - 5 = -3$$ , откуда $a = \dfrac{1}{2}$ .

$y = \dfrac{1}{2}(x - 2)^2 - 5 = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x - 3$ . Проверка по рисунку: $$y(-2) = 2 + 4 - 3 = 3$$ , $$y(6) = 18 - 12 - 3 = 3$$ — точки $(-2;\ 3)$ и $(6;\ 3)$ лежат на графике.

В ответах учебника этот пункт пропущен: под буквой «б» там приведён ответ к рисунку 35, в.

Ответ

a = 1/2, b = −2, c = −3

Почему так

Вершина и ещё одна точка графика однозначно задают параболу y = a(x − m)² + n.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Функция задаётся формулой y = ax² + bx + c. По графику (рис. 35, в) найдите a, b и c.

Решение

По рисунку: ветви вверх, вершина $(-3;\ 0)$ на оси $$x$$ , парабола проходит через точки $(-2;\ 2)$ и $(-4;\ 2)$ .

$$y = a(x + 3)^2$$ . Подставим $$x = -2$$ и получим $a \cdot 1 = 2$ , откуда $$a = 2$$ .

$$y = 2(x + 3)^2 = 2x^2 + 12x + 18$$ .

В ответах учебника этот ответ стоит под буквой «б».

Ответ

a = 2, b = 12, c = 18

Почему так

Вершина и ещё одна точка графика однозначно задают параболу y = a(x − m)² + n.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Функция задаётся формулой y = ax² + bx + c. По графику (рис. 35, г) найдите a, b и c.

Решение

По рисунку: ветви вниз, вершина $(-2;\ 5)$ , ось $$y$$ парабола пересекает в точке $(0;\ 3)$ , значит, $$c = 3$$ .

$$y = a(x + 2)^2 + 5$$ . Подставим $$x = 0$$ и получим $$4a + 5 = 3$$ , откуда $a = -\dfrac{1}{2}$ .

$y = -\dfrac{1}{2}(x + 2)^2 + 5 = -\dfrac{1}{2}x^2 - 2x + 3$ . Проверка: $$y(-4) = -8 + 8 + 3 = 3$$ и $$y(-1) = -0{,}5 + 2 + 3 = 4{,}5$$ — по рисунку так и есть.

В ответах учебника этот пункт не приведён.

Ответ

a = −1/2, b = −2, c = 3

Почему так

Вершина и ещё одна точка графика однозначно задают параболу y = a(x − m)² + n.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки