Это гипербола \(y = \dfrac{4}{x}\), сдвинутая на 3 единицы вправо. Центр \((3;\ 0)\), асимптоты — прямые \(x = 3\) и \(y = 0\) (ось \(x\)). Так как \(k = 4 > 0\), ветви лежат справа сверху и слева снизу от центра.
\(x\)
−1
1
2
4
5
7
\(y\)
−1
−2
−4
4
2
1
Проводим пунктиром прямую \(x = 3\), отмечаем точки и соединяем их плавными ветвями, которые приближаются к асимптотам. Ось \(y\) график пересекает в точке \(\left(0;\ -\dfrac{4}{3}\right)\).
Ответ
Гипербола с центром (3; 0), асимптоты x = 3 и y = 0, ветви в I и III четвертях относительно центра; точки (4; 4), (5; 2), (2; −4), (1; −2)
Почему так
График y = k/(x − m) получается из гиперболы y = k/x сдвигом на m единиц вдоль оси x.
Это гипербола \(y = \dfrac{4}{x}\), сдвинутая на 2 единицы вверх. Центр \((0;\ 2)\), асимптоты — ось \(y\) (прямая \(x = 0\)) и прямая \(y = 2\). Так как \(k = 4 > 0\), ветви лежат справа сверху и слева снизу от центра.
\(x\)
−4
−2
−1
1
2
4
\(y\)
1
0
−2
6
4
3
Левая ветвь пересекает ось \(x\) в точке \((-2;\ 0)\).
Ответ
Гипербола с центром (0; 2), асимптоты x = 0 и y = 2; точки (1; 6), (2; 4), (4; 3), (−1; −2), (−2; 0), (−4; 1)
Почему так
График y = k/x + n получается из гиперболы y = k/x сдвигом на n единиц вдоль оси y.
\(x + 3 = x - (-3)\), поэтому это гипербола \(y = \dfrac{4}{x}\), сдвинутая на 3 единицы влево. Центр \((-3;\ 0)\), асимптоты — прямые \(x = -3\) и \(y = 0\). Ветви справа сверху и слева снизу от центра (\(k = 4 > 0\)).
\(x\)
−7
−5
−4
−2
−1
1
\(y\)
−1
−2
−4
4
2
1
Ось \(y\) график пересекает в точке \(\left(0;\ \dfrac{4}{3}\right)\).
Ответ
Гипербола с центром (−3; 0), асимптоты x = −3 и y = 0; точки (−2; 4), (−1; 2), (1; 1), (−4; −4), (−5; −2), (−7; −1)
Почему так
График y = k/(x − m) получается из y = k/x сдвигом вдоль оси x; при «x + 3» сдвиг на 3 влево.
Это гипербола \(y = \dfrac{4}{x}\), сдвинутая на 2 единицы вниз. Центр \((0;\ -2)\), асимптоты — ось \(y\) и прямая \(y = -2\). Ветви справа сверху и слева снизу от центра.
\(x\)
−4
−2
−1
1
2
4
\(y\)
−3
−4
−6
2
0
−1
Правая ветвь пересекает ось \(x\) в точке \((2;\ 0)\).
Ответ
Гипербола с центром (0; −2), асимптоты x = 0 и y = −2; точки (1; 2), (2; 0), (4; −1), (−1; −6), (−2; −4), (−4; −3)
Почему так
График y = k/x + n получается из гиперболы y = k/x сдвигом на n единиц вдоль оси y; при n = −2 — вниз.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).