Какие асимптоты у гиперболы y = 2/x + 3 - 4?

Прямые x = −3 и y = −4

Как получить график y = 6/x - 2 + 1 из графика y = 6/x?

Сдвинуть на 2 вправо и на 1 вверх

Сдвинуть на 2 влево и на 1 вверх

Сдвинуть на 2 вправо и на 1 вниз

Сдвинуть на 1 вправо и на 2 вверх

В функции y = k/x - m + n число k < 0. Где расположены ветви гиперболы относительно её центра?

Обе ветви справа от центра

Обе ветви выше центра

Дробно-линейная функция — 9 класс, алгебра: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Графики и свойства основных видов функций

Коротко о главном

Дробно-линейная функция — это функция вида $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ , где $c \ne 0$ и $ad - bc \ne 0$ . Если выделить из дроби целую часть, она запишется как $y = \dfrac{k}{x - m} + n$ , а её графиком будет гипербола $y = \dfrac{k}{x}$ , сдвинутая на $$m$$ по оси $$x$$ и на $$n$$ по оси $$y$$ .

y = \dfrac{ax + b}{cx + d} = \dfrac{k}{x - m} + n

Подробное объяснение

Представьте, что в комнату поставили обогреватель, и вы отходите от него всё дальше. Температура падает, но никогда не опускается ниже температуры за окном — она всё ближе подходит к этому уровню. Такие «приближения к уровню без касания» хорошо описывает гипербола. Вы уже знаете гиперболу $y = \dfrac{k}{x}$ : её ветви прижимаются к осям координат, но не пересекают их. Сегодня научимся работать с гиперболами, у которых центр не в начале координат.

Какую функцию называют дробно-линейной

Это функция $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ : в числителе и знаменателе стоят многочлены не выше первой степени. Например, $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ , $y = \dfrac{5}{3x + 2}$ , $y = \dfrac{x}{4x - 1}$ .

Два условия важны:

$c \ne 0$ — иначе в знаменателе просто число, и функция линейная;
$ad - bc \ne 0$ — иначе дробь сокращается. Например, $\dfrac{2x - 4}{3x - 6} = \dfrac{2}{3}$ при всех $x \ne 2$ , и график — прямая с «дыркой».

Область определения — все $$x$$ , кроме корня знаменателя $x = -\dfrac{d}{c}$ .

Выделение целой части

Главный приём — переписать дробь в виде $n + \dfrac{k}{x - m}$ . Для этого числитель записывают через знаменатель:

\dfrac{2x + 1}{x - 1} = \dfrac{2(x - 1) + 3}{x - 1} = 2 + \dfrac{3}{x - 1}.

Здесь $$k = 3$$ , $$m = 1$$ , $$n = 2$$ . Если коэффициент при $$x$$ в знаменателе не равен 1, удобно сначала вынести его: $\dfrac{6x + 1}{2x - 5}$ — числитель равен $$3(2x - 5) + 16$$ , поэтому дробь равна $3 + \dfrac{16}{2x - 5} = 3 + \dfrac{8}{x - 2{,}5}$ .

Гипербола со сдвигом

График $$y = f(x - m) + n$$ получается из графика $$y = f(x)$$ сдвигом на $$m$$ единиц по оси $$x$$ (вправо, если $$m > 0$$ ) и на $$n$$ единиц по оси $$y$$ (вверх, если $$n > 0$$ ). Поэтому график $y = \dfrac{k}{x - m} + n$ — та же гипербола $y = \dfrac{k}{x}$ , перенесённая так, что её центр из точки $(0;\ 0)$ попал в точку $(m;\ n)$ .

Пунктиром — гипербола y = 3/x. Её сдвинули на 1 вправо и на 2 вверх и получили синюю гиперболу y = 3/(x − 1) + 2 с центром (1; 2), асимптотами x = 1, y = 2 и точками (2; 5), (4; 3), (0; −1), (−2; 1). — Центр гиперболы переходит из начала координат в точку (1; 2), вместе с ним сдвигаются асимптоты.

Асимптоты

Асимптота — прямая, к которой ветвь графика неограниченно приближается. У $y = \dfrac{k}{x}$ асимптоты — оси координат. После сдвига асимптотами становятся прямые:

$$x = m$$ — вертикальная (в этой точке знаменатель равен нулю);
$$y = n$$ — горизонтальная (значение $$n$$ функция никогда не принимает).

Полезная проверка: горизонтальная асимптота дроби $\dfrac{ax + b}{cx + d}$ — всегда $y = \dfrac{a}{c}$ .

Знак $$k$$ показывает, где ветви: при $$k > 0$$ — справа сверху и слева снизу от центра, при $$k < 0$$ — слева сверху и справа снизу.

Две схемы с центром (m; n) и пунктирными асимптотами x = m и y = n. При k > 0 ветви справа сверху и слева снизу от центра, при k < 0 — слева сверху и справа снизу. — Знак k определяет, в каких «четвертях» относительно центра (m; n) лежат ветви.

Как решать задачи

Проверьте, что функция действительно дробно-линейная: $c \ne 0$ и дробь не сокращается.
Выделите целую часть: запишите функцию в виде $y = \dfrac{k}{x - m} + n$ .
Найдите центр $(m;\ n)$ и проведите пунктиром асимптоты $$x = m$$ и $$y = n$$ .
По знаку $$k$$ определите, в каких «четвертях» относительно центра лежат ветви.
Составьте таблицу из 3–4 точек по обе стороны от $$x = m$$ (удобно брать $x - m = \pm 1, \pm k$ ), отметьте их и проведите ветви, приближая их к асимптотам.
Нули функции — корни числителя; знак функции меняется в нуле числителя и на вертикальной асимптоте.

Разобранные примеры

База

Асимптоты и область определения

Условие

Найдите область определения и асимптоты графика функции $y = \dfrac{5}{x + 4} - 1$ .

Решение

Знаменатель $$x + 4$$ равен нулю при $$x = -4$$ , поэтому область определения — все числа, кроме $$-4$$ .

Запишем $$x + 4 = x - (-4)$$ : функция имеет вид $y = \dfrac{k}{x - m} + n$ с $$k = 5$$ , $$m = -4$$ , $$n = -1$$ . Асимптоты — прямые $$x = -4$$ и $$y = -1$$ .

Ответ: x ≠ −4; асимптоты x = −4 и y = −1

Средний

Построение графика

Условие

Постройте график функции $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ .

Решение

Выделим целую часть: $\dfrac{2x + 1}{x - 1} = \dfrac{2(x - 1) + 3}{x - 1} = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ .

Это гипербола $y = \dfrac{3}{x}$ , сдвинутая на 1 вправо и на 2 вверх. Центр $(1;\ 2)$ , асимптоты $$x = 1$$ и $$y = 2$$ . Так как $$k = 3 > 0$$ , ветви лежат справа сверху и слева снизу от центра.

$$x$$	−2	0	2	4
$$y$$	1	−1	5	3

Отмечаем точки и проводим ветви (рисунок выше). Нуль функции: $$2x + 1 = 0$$ , $$x = -0{,}5$$ .

Ответ: Гипербола с центром (1; 2) и асимптотами x = 1, y = 2, проходящая через (−2; 1), (0; −1), (2; 5), (4; 3)

Сложный

Целые точки графика

Условие

Найдите все точки графика функции $y = \dfrac{3x + 2}{x - 1}$ , у которых обе координаты — целые числа.

Решение

$\dfrac{3x + 2}{x - 1} = \dfrac{3(x - 1) + 5}{x - 1} = 3 + \dfrac{5}{x - 1}$ . При целом $$x$$ число $$y$$ целое, только если $$x - 1$$ делит 5, то есть $x - 1 \in \{1;\ -1;\ 5;\ -5\}$ .

$$x - 1 = 1$$ : $$x = 2$$ , $$y = 8$$ ;
$$x - 1 = -1$$ : $$x = 0$$ , $$y = -2$$ ;
$$x - 1 = 5$$ : $$x = 6$$ , $$y = 4$$ ;
$$x - 1 = -5$$ : $$x = -4$$ , $$y = 2$$ .

Ответ: (2; 8), (0; −2), (6; 4), (−4; 2)

Типичные ошибки

Путают направление сдвига по оси x

Почему неверно

В $y = \dfrac{4}{x + 3}$ видят «+3» и сдвигают график вправо. Но $$x + 3 = x - (-3)$$ , то есть $$m = -3$$ .

Как правильно

Вертикальная асимптота там, где знаменатель равен нулю: $$x + 3 = 0$$ , $$x = -3$$ . График сдвигается на 3 единицы влево.

Берут за асимптоту свободный член числителя

Почему неверно

У $y = \dfrac{x + 8}{x - 2}$ пишут асимптоту $$y = 8$$ или $$y = 0$$ , не выделив целую часть.

Как правильно

$\dfrac{x + 8}{x - 2} = 1 + \dfrac{10}{x - 2}$ , горизонтальная асимптота $$y = 1$$ . Проверка: отношение коэффициентов при $$x$$ равно $\dfrac{1}{1} = 1$ .

Не замечают, что дробь сокращается

Почему неверно

Функцию $y = \dfrac{3x - 6}{2x - 4}$ считают дробно-линейной и рисуют гиперболу.

Как правильно

$\dfrac{3(x - 2)}{2(x - 2)} = \dfrac{3}{2}$ при $x \ne 2$ . Здесь $ad - bc = 3 \cdot (-4) - (-6) \cdot 2 = 0$ , и график — горизонтальная прямая $$y = 1{,}5$$ без точки с абсциссой 2.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Укажите асимптоты гиперболы $y = \dfrac{7}{x - 5} + 3$ .

Подсказка

Сравните формулу с видом $y = \dfrac{k}{x - m} + n$ .

Решение

Здесь $$k = 7$$ , $$m = 5$$ , $$n = 3$$ . Вертикальная асимптота — прямая $$x = m$$ , то есть $$x = 5$$ ; горизонтальная — прямая $$y = n$$ , то есть $$y = 3$$ .

Ответ

x = 5, y = 3

База Задача 2

Найдите значение функции $y = \dfrac{x + 3}{x - 2}$ при $$x = 4$$ и при $$x = -3$$ . Какое значение $$x$$ не входит в область определения?

Подсказка

Знаменатель не может быть равен нулю.

Решение

При $$x = 4$$ получаем $y = \dfrac{4 + 3}{4 - 2} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$ . При $$x = -3$$ числитель равен нулю, поэтому $y = \dfrac{0}{-5} = 0$ . Знаменатель $$x - 2$$ обращается в нуль при $$x = 2$$ — это значение в область определения не входит.

Ответ

y(4) = 3,5; y(−3) = 0; x ≠ 2

Средний Задача 3

Представьте функцию $y = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$ в виде $y = \dfrac{k}{x - m} + n$ и назовите центр гиперболы.

Подсказка

Запишите числитель как $$4(x + 2) - 9$$ .

Решение

$$4x - 1 = 4x + 8 - 9 = 4(x + 2) - 9$$ , поэтому

y = \dfrac{4(x + 2) - 9}{x + 2} = 4 - \dfrac{9}{x + 2} = \dfrac{-9}{x + 2} + 4.

Здесь

\(k = -9\)

,

\(m = -2\)

,

\(n = 4\)

. Центр гиперболы — точка

(-2;\ 4)

, ветви расположены слева сверху и справа снизу от центра, так как

\(k < 0\)

.

Ответ

y = −9/(x + 2) + 4, центр (−2; 4)

Средний Задача 4

Найдите нули функции $y = \dfrac{2x - 6}{x + 1}$ и промежутки, на которых она положительна и отрицательна.

Подсказка

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Знак дроби меняется в нуле числителя и в нуле знаменателя.

Решение

Нуль функции: $$2x - 6 = 0$$ , $$x = 3$$ (знаменатель при этом равен $4 \ne 0$ ). Знаменатель обращается в нуль при $$x = -1$$ .

Точки $$-1$$ и $$3$$ делят ось на три промежутка. При $$x = -2$$ : $y = \dfrac{-10}{-1} = 10 > 0$ ; при $$x = 0$$ : $$y = -6 < 0$$ ; при $$x = 4$$ : $y = \dfrac{2}{5} > 0$ .

Значит, $$y > 0$$ на $(-\infty;\ -1)$ и на $(3;\ +\infty)$ , $$y < 0$$ на $(-1;\ 3)$ .

Ответ

Нуль x = 3; y > 0 при x < −1 и при x > 3; y < 0 при −1 < x < 3

Сложный Задача 5

При каком значении $$a$$ гипербола $y = \dfrac{ax + 3}{x - 1}$ имеет горизонтальную асимптоту $$y = 2$$ ?

Подсказка

Выделите целую часть дроби при произвольном $$a$$ .

Решение

$$ax + 3 = a(x - 1) + a + 3$$ , поэтому $y = a + \dfrac{a + 3}{x - 1}$ . Горизонтальная асимптота — прямая $$y = a$$ , значит, $$a = 2$$ .

Проверим, что график действительно гипербола: при $$a = 2$$ получаем $y = 2 + \dfrac{5}{x - 1}$ , $k = 5 \ne 0$ . (При $$a = -3$$ дробь сократилась бы и графиком была бы прямая с выколотой точкой.)

Ответ

a = 2

Сложный Задача 6

Найдите все точки графика функции $y = \dfrac{x + 5}{x + 1}$ , у которых обе координаты — целые числа.

Подсказка

Выделите целую часть и подумайте, на какие числа должно делиться 4.

Решение

$y = \dfrac{(x + 1) + 4}{x + 1} = 1 + \dfrac{4}{x + 1}$ . При целом $$x$$ значение $$y$$ целое тогда и только тогда, когда $$x + 1$$ — делитель числа 4: $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ .

$$x + 1$$	1	−1	2	−2	4	−4
$$x$$	0	−2	1	−3	3	−5
$$y$$	5	−3	3	−1	2	0

Ответ

(0; 5), (−2; −3), (1; 3), (−3; −1), (3; 2), (−5; 0)

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на листе в клетку гиперболу $y = \dfrac{1}{x}$ , обведите её на кальке вместе с осями. Теперь сдвиньте кальку на 2 клетки вправо и на 1 вверх — оси кальки станут асимптотами нового графика $y = \dfrac{1}{x - 2} + 1$ . Главное, что нужно уметь, — по формуле найти, куда сдвинулся центр.

Вопросы для проверки понимания: 1) Как записать $\dfrac{x + 5}{x + 1}$ в виде $n + \dfrac{k}{x - m}$ ? 2) Какие асимптоты у $y = \dfrac{3}{x - 4} + 2$ ? 3) Почему у $y = \dfrac{2x - 2}{x - 1}$ график не гипербола?

На что обратить внимание. Ребёнок должен сам проверять ответ при выделении целой части: подставить одно число, например $$x = 0$$ , в исходную дробь и в полученную запись — значения должны совпасть. Знак у $$m$$ — самое частое место ошибки.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 9 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 12	168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178