б) Покажите схематически, как расположен график y = k/x - m + n, где k < 0, если m < 0, n > 0 (повышенной трудности).

Центр (m; n) во II четверти, асимптоты x = m 0; ветви слева сверху и справа снизу от центра

Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 12

Упражнение 171 к § 12

§ 12. Дробно-линейная функция и её график · тема: Дробно-линейная функция и её график

Задача 1

Условие (кратко)

а) Покажите схематически, как расположен график $y = \dfrac{k}{x - m} + n$ , где $$k < 0$$ , если $$m > 0$$ , $$n < 0$$ (повышенной трудности).

Решение

График — гипербола $y = \dfrac{k}{x}$ , сдвинутая так, что её центр попал в точку $(m;\ n)$ . При $$m > 0$$ и $$n < 0$$ центр лежит в IV координатной четверти: правее оси $$y$$ и ниже оси $$x$$ .

Асимптоты — вертикальная прямая $$x = m$$ правее оси $$y$$ и горизонтальная прямая $$y = n$$ ниже оси $$x$$ .

Так как $$k < 0$$ , ветви расположены как у $y = -\dfrac{1}{x}$ : одна слева сверху от центра, другая справа снизу.

Две схемы с центром (m; n) и пунктирными асимптотами x = m и y = n. При k > 0 ветви справа сверху и слева снизу от центра, при k < 0 — слева сверху и справа снизу. — Знак k определяет, в каких «четвертях» относительно центра (m; n) лежат ветви.

На схеме это правый рисунок, перенесённый так, чтобы точка $(m;\ n)$ оказалась в IV четверти. Левая верхняя ветвь пересекает ось $$y$$ и может пересекать ось $$x$$ ; правая нижняя целиком лежит в IV четверти.

Ответ

Центр (m; n) в IV четверти, асимптоты x = m > 0 и y = n < 0; ветви слева сверху и справа снизу от центра

Почему так

При k < 0 ветви гиперболы лежат во «второй и четвёртой четвертях» относительно её центра (m; n).

Подробнее — в теме «Дробно-линейная функция и её график».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Покажите схематически, как расположен график $y = \dfrac{k}{x - m} + n$ , где $$k < 0$$ , если $$m < 0$$ , $$n > 0$$ (повышенной трудности).

Решение

Центр гиперболы — точка $(m;\ n)$ . При $$m < 0$$ и $$n > 0$$ он лежит во II координатной четверти: левее оси $$y$$ и выше оси $$x$$ .

Асимптоты — вертикальная прямая $$x = m$$ левее оси $$y$$ и горизонтальная прямая $$y = n$$ выше оси $$x$$ .

Так как $$k < 0$$ , одна ветвь лежит слева сверху от центра (целиком во II четверти), другая — справа снизу: она пересекает ось $$y$$ и может пересекать ось $$x$$ .