Задача 1
Условие (кратко)
Постройте график функции \(y = \dfrac{3x - 2}{x - 2}\). Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства (повышенной трудности).
Решение
Выделим целую часть:
\[\dfrac{3x - 2}{x - 2} = \dfrac{3(x - 2) + 4}{x - 2} = 3 + \dfrac{4}{x - 2}.\]
График — гипербола \(y = \dfrac{4}{x}\), сдвинутая на 2 вправо и на 3 вверх. Центр \((2;\ 3)\), асимптоты \(x = 2\) и \(y = 3\), ветви справа сверху и слева снизу от центра (\(k = 4 > 0\)).
| \(x\) | −2 | 0 | 1 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 2 | 1 | −1 | 7 | 5 | 4 |
Нули: \(3x - 2 = 0\), \(x = \dfrac{2}{3}\) (знаменатель при этом не равен нулю).
Знак меняется в точках \(\dfrac{2}{3}\) и \(2\). При \(x = 0\) имеем \(y = 1 > 0\), при \(x = 1\) имеем \(y = -1 < 0\), при \(x = 3\) имеем \(y = 7 > 0\).
Значит, \(y > 0\) на \(\left(-\infty;\ \dfrac{2}{3}\right)\) и на \((2;\ +\infty)\); \(y < 0\) на \(\left(\dfrac{2}{3};\ 2\right)\).
Ответ
Гипербола с центром (2; 3); нуль x = 2/3; y > 0 на (−∞; 2/3) и (2; +∞), y < 0 на (2/3; 2)
Почему так
Выделение целой части даёт гиперболу со сдвигом, а знак дроби меняется в нуле числителя и в нуле знаменателя.
Подробнее — в теме «Дробно-линейная функция и её график».