Задача 1
Какие из функций — гиперболы? 1) \(y = \dfrac{15}{x - 3}\); 2) \(y = \dfrac{37 + x}{37 - x}\); 3) \(y = \dfrac{8x - 5}{25}\); 4) \(y = \dfrac{8x - 40}{5x - 25}\) (повышенной трудности).
Решение
-
\(y = \dfrac{15}{x - 3}\) — гипербола \(y = \dfrac{15}{x}\), сдвинутая на 3 вправо.
-
\(\dfrac{37 + x}{37 - x} = \dfrac{74 - (37 - x)}{37 - x} = \dfrac{74}{37 - x} - 1 = -\dfrac{74}{x - 37} - 1\) — гипербола с центром \((37;\ -1)\). Дробь не сокращается: \(ad - bc = 1 \cdot 37 - 37 \cdot (-1) = 74 \ne 0\).
-
\(y = \dfrac{8x - 5}{25} = 0{,}32x - 0{,}2\) — в знаменателе нет \(x\), это линейная функция, график — прямая.
-
\(\dfrac{8x - 40}{5x - 25} = \dfrac{8(x - 5)}{5(x - 5)} = \dfrac{8}{5}\) при \(x \ne 5\). График — горизонтальная прямая \(y = 1{,}6\) без точки с абсциссой 5, а не гипербола.
Ответ
Гипербола — график дробно-линейной функции, у которой в знаменателе есть x и дробь не сокращается (ad − bc ≠ 0).
Подробнее — в теме «Дробно-линейная функция и её график».