Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что графику \(y = \dfrac{2x + 5}{x - 3}\) принадлежат лишь две точки с натуральными абсциссой и ординатой. Найдите эти точки (повышенной трудности).
Решение
Выделим целую часть:
\[\dfrac{2x + 5}{x - 3} = \dfrac{2(x - 3) + 11}{x - 3} = 2 + \dfrac{11}{x - 3}.\]
Если \(x\) натуральное, то \(y\) целое только тогда, когда \(x - 3\) — делитель числа 11, то есть \(x - 3 \in \{1;\ -1;\ 11;\ -11\}\).
- \(x - 3 = 1\): \(x = 4\), \(y = 2 + 11 = 13\) — оба числа натуральные;
- \(x - 3 = -1\): \(x = 2\), \(y = 2 - 11 = -9\) — не натуральное;
- \(x - 3 = 11\): \(x = 14\), \(y = 2 + 1 = 3\) — оба натуральные;
- \(x - 3 = -11\): \(x = -8\) — не натуральное.
Других вариантов нет, так как у числа 11 только четыре целых делителя. Значит, таких точек ровно две.
Ответ
(4; 13) и (14; 3)
Почему так
После выделения целой части y целое, только если x − 3 делит 11, а таких значений конечное число.
Подробнее — в теме «Дробно-линейная функция и её график».