Задача 1
Решите графически уравнение \(\dfrac{4x}{x + 2} = x - 3\) (повышенной трудности).
Решение
Построим в одной системе координат графики \(y = \dfrac{4x}{x + 2}\) и \(y = x - 3\).
\(\dfrac{4x}{x + 2} = \dfrac{4(x + 2) - 8}{x + 2} = 4 - \dfrac{8}{x + 2}\) — гипербола с центром \((-2;\ 4)\) и асимптотами \(x = -2\), \(y = 4\); так как \(k = -8 < 0\), ветви слева сверху и справа снизу от центра.
| \(x\) | −10 | −6 | −4 | −3 | −1 | 0 | 2 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 5 | 6 | 8 | 12 | −4 | 0 | 2 | 3 |
Прямая \(y = x - 3\) проходит через точки \((0;\ -3)\) и \((3;\ 0)\).
Прямая пересекает правую ветвь гиперболы в двух точках: \((-1;\ -4)\) и \((6;\ 3)\). С левой ветвью (там \(y > 4\), а на прямой при \(x < -2\) значения \(y < -5\)) пересечений нет.
Проверка: при \(x = -1\) получаем \(\dfrac{-4}{1} = -4\) и \(-1 - 3 = -4\); при \(x = 6\) получаем \(\dfrac{24}{8} = 3\) и \(6 - 3 = 3\). Оба значения — точные корни.
Ответ
Корни уравнения — абсциссы точек пересечения графиков его левой и правой частей.
Подробнее — в теме «Дробно-линейная функция и её график».