Задача 1
Условие (кратко)
Постройте график функции \(g(x) = \dfrac{6}{|x - 2|}\). а) Решите уравнение \(g(x) = 3\) (повышенной трудности).
Решение
Раскроем модуль.
- При \(x > 2\) имеем \(|x - 2| = x - 2\) и \(g(x) = \dfrac{6}{x - 2}\) — правая ветвь гиперболы \(y = \dfrac{6}{x}\), сдвинутой на 2 вправо.
- При \(x < 2\) имеем \(|x - 2| = 2 - x\) и \(g(x) = -\dfrac{6}{x - 2}\) — левая ветвь гиперболы \(y = -\dfrac{6}{x}\), сдвинутой на 2 вправо.
Обе ветви лежат выше оси \(x\) и симметричны относительно прямой \(x = 2\). Асимптоты — \(x = 2\) и \(y = 0\).
| \(x\) | −4 | −1 | 0 | 1 | 3 | 4 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 1 | 2 | 3 | 6 | 6 | 3 | 2 | 1 |
Уравнение \(g(x) = 3\): прямая \(y = 3\) пересекает график в двух точках. Аналитически \(|x - 2| = 2\), то есть \(x - 2 = 2\) или \(x - 2 = -2\), откуда \(x = 4\) или \(x = 0\).
Ответ
x₁ = 0, x₂ = 4
Почему так
Модуль делает график симметричным относительно прямой x = 2, поэтому прямая y = 3 пересекает его дважды.
Подробнее — в теме «Дробно-линейная функция и её график».