Упражнение 211 к § 13

Раскроем скобки: \((8x - 1)(2x - 3) = 16x^2 - 24x - 2x + 3 = 16x^2 - 26x + 3\), \((4x - 1)^2 = 16x^2 - 8x + 1\).

\(16x^2 - 26x + 3 - 16x^2 + 8x - 1 = 38\),

\(-18x + 2 = 38\), \(-18x = 36\), \(x = -2\).

Запишем \(2\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}\) и умножим обе части на 3: \((15x - 1)(15x + 1) = 8\).

По формуле разности квадратов \(225x^2 - 1 = 8\), \(225x^2 = 9\), \(x^2 = \dfrac{9}{225} = \dfrac{1}{25}\).

\(x = -\dfrac{1}{5} = -0{,}2\) или \(x = 0{,}2\).

Умножим обе части на 2: \(y^3 - y(y + 1)(y - 3) = 14\).

\((y + 1)(y - 3) = y^2 - 2y - 3\), поэтому \(y^3 - y^3 + 2y^2 + 3y = 14\), то есть \(2y^2 + 3y - 14 = 0\).

\(D = 9 + 112 = 121\), \(y = \dfrac{-3 \pm 11}{4}\), откуда \(y_1 = -3{,}5\), \(y_2 = 2\).

В учебнике между \(x^4\) и \(x^2\) напечатан знак, похожий на точку умножения. По ответу учебника (±0,5) задумано уравнение \(x^4 - x^2 = \dfrac{(1 + 2x^2)(2x^2 - 1)}{4}\) — решаем его.

Правая часть: \((2x^2 + 1)(2x^2 - 1) = 4x^4 - 1\), поэтому \(\dfrac{4x^4 - 1}{4} = x^4 - \dfrac{1}{4}\).

\(x^4 - x^2 = x^4 - \dfrac{1}{4}\), \(-x^2 = -\dfrac{1}{4}\), \(x^2 = \dfrac{1}{4}\), \(x = \pm 0{,}5\).

Замечание: если читать знак как умножение, получится \(x^6 - x^4 + \dfrac{1}{4} = 0\); при \(z = x^2 \ge 0\) выражение \(z^3 - z^2 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} - z^2(1 - z)\) положительно (при \(0 \le z \le 1\) произведение \(z \cdot z \cdot (2 - 2z) \le \left(\dfrac{2}{3}\right)^3\), поэтому \(z^2(1 - z) \le \dfrac{4}{27} < \dfrac{1}{4}\)), и корней не было бы.