Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 13

Упражнение 212 к § 13

§ 13. Целое уравнение и его корни · тема: Целое уравнение и его корни

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите уравнение $$(6 - x)(x + 6) - (x - 11)x = 36$$ .

Решение

$$(6 - x)(6 + x) = 36 - x^2$$ , $$(x - 11)x = x^2 - 11x$$ .

$$36 - x^2 - x^2 + 11x = 36$$ , $$-2x^2 + 11x = 0$$ , $$x(11 - 2x) = 0$$ .

$$x = 0$$ или $$x = 5{,}5$$ .

Ответ

x₁ = 0, x₂ = 5,5

Почему так

После раскрытия скобок получается неполное квадратное уравнение — выносим x за скобки.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите уравнение $9x^2 - \dfrac{(12x - 11)(3x + 8)}{4} = 1$ .

Решение

Умножим на 4: $$36x^2 - (12x - 11)(3x + 8) = 4$$ .

$$(12x - 11)(3x + 8) = 36x^2 + 96x - 33x - 88 = 36x^2 + 63x - 88$$ .

$$36x^2 - 36x^2 - 63x + 88 = 4$$ , $$-63x = -84$$ , $x = \dfrac{84}{63} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}$ .

Ответ

x = 1 1/3

Почему так

Квадраты сокращаются, уравнение оказывается первой степени.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите уравнение $\dfrac{1 - 3y}{11} - \dfrac{3 - y}{5} = 0$ .

Решение

Умножим на 55: $$5(1 - 3y) - 11(3 - y) = 0$$ .

$$5 - 15y - 33 + 11y = 0$$ , $$-4y - 28 = 0$$ , $$y = -7$$ .

Ответ

y = −7

Почему так

Умножение на общий знаменатель 55 даёт линейное уравнение.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите уравнение $\dfrac{(y + 1)^2}{12} - \dfrac{1 - y^2}{24} = 4$ .

Решение

Умножим на 24: $$2(y + 1)^2 - (1 - y^2) = 96$$ .

$$2y^2 + 4y + 2 - 1 + y^2 = 96$$ , $$3y^2 + 4y - 95 = 0$$ .

$$D = 16 + 1140 = 1156 = 34^2$$ , $y = \dfrac{-4 \pm 34}{6}$ , откуда $y_1 = -\dfrac{38}{6} = -6\dfrac{1}{3}$ , $$y_2 = 5$$ .

Ответ

y₁ = −6 1/3, y₂ = 5

Почему так

После умножения на общий знаменатель получается квадратное уравнение.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки