Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что уравнение \(5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 = 0\) не имеет корней.
Решение
Степени \(x^6\), \(x^4\), \(x^2\) чётные, поэтому при любом \(x\) они неотрицательны: \(5x^6 \ge 0\), \(6x^4 \ge 0\), \(x^2 \ge 0\).
Значит, \(5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 \ge 4 > 0\) при любом \(x\). Левая часть никогда не равна нулю, поэтому корней нет.
Ответ
Левая часть при любом x не меньше 4, значит, корней нет
Почему так
Чётная степень любого числа неотрицательна, а к сумме неотрицательных слагаемых прибавлено положительное число 4.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».