Задача 1
Условие (кратко)
Первое число на 5 больше второго, а его куб на 3185 больше куба второго. Найдите эти числа.
Решение
Дано
- первое число на 5 больше второго
- разность кубов 3185
Найти
- числа
Пусть второе число \(n\), первое \(n + 5\). Тогда \((n + 5)^3 - n^3 = 3185\).
\(n^3 + 15n^2 + 75n + 125 - n^3 = 3185\), \(15n^2 + 75n - 3060 = 0\), \(n^2 + 5n - 204 = 0\).
\(D = 25 + 816 = 841 = 29^2\), \(n = \dfrac{-5 \pm 29}{2}\), откуда \(n_1 = 12\), \(n_2 = -17\).
Если \(n = 12\), числа 17 и 12; если \(n = -17\), числа −12 и −17. Проверка: \(17^3 - 12^3 = 4913 - 1728 = 3185\).
Ответ
17 и 12 или −12 и −17
Почему так
Разность кубов чисел, отличающихся на 5, сводится к квадратному уравнению; подходят оба корня.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».