Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 13, упражнение 221

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите уравнение, используя новую переменную: $$(2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0$$ .

Решение

Пусть $$2x^2 + 3 = y$$ . Тогда $$y^2 - 12y + 11 = 0$$ , $$y_1 = 1$$ , $$y_2 = 11$$ .

$$2x^2 + 3 = 1$$ , откуда $$x^2 = -1$$ — корней нет.

$$2x^2 + 3 = 11$$ , откуда $$x^2 = 4$$ , $x = \pm 2$ .

Ответ

−2; 2

Почему так

Повторяющееся выражение заменяем новой переменной, решаем квадратное уравнение и возвращаемся к исходной переменной.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите уравнение, используя новую переменную: $$(t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t)$$ .

Решение

Пусть $$t^2 - 2t = y$$ . Тогда $$y^2 - 2y - 3 = 0$$ , $$y_1 = 3$$ , $$y_2 = -1$$ .

$$t^2 - 2t = 3$$ , откуда $$t^2 - 2t - 3 = 0$$ , $$t = 3$$ или $$t = -1$$ .

$$t^2 - 2t = -1$$ , откуда $$(t - 1)^2 = 0$$ , $$t = 1$$ .

Ответ

−1; 1; 3

Почему так

Повторяющееся выражение заменяем новой переменной, решаем квадратное уравнение и возвращаемся к исходной переменной.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите уравнение, используя новую переменную: $$(x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40$$ .

Решение

Пусть $$x^2 + x = y$$ . Тогда $$(y - 1)(y + 2) = 40$$ , $$y^2 + y - 42 = 0$$ , $$y_1 = 6$$ , $$y_2 = -7$$ .

$$x^2 + x = 6$$ , откуда $$x^2 + x - 6 = 0$$ , $$x = 2$$ или $$x = -3$$ .

$$x^2 + x = -7$$ , откуда $$x^2 + x + 7 = 0$$ , $$D = 1 - 28 < 0$$ — корней нет.

Ответ

−3; 2

Почему так

Повторяющееся выражение заменяем новой переменной, решаем квадратное уравнение и возвращаемся к исходной переменной.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите уравнение, используя новую переменную: $$(2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + 2 = 0$$ .

Решение

Пусть $$2x^2 + x = y$$ . Тогда $$(y - 1)(y - 4) + 2 = 0$$ , $$y^2 - 5y + 6 = 0$$ , $$y_1 = 2$$ , $$y_2 = 3$$ .

$$2x^2 + x = 2$$ , откуда $$2x^2 + x - 2 = 0$$ , $$D = 1 + 16 = 17$$ , $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$ .

$$2x^2 + x = 3$$ , откуда $$2x^2 + x - 3 = 0$$ , $$D = 1 + 24 = 25$$ , $x = \dfrac{-1 \pm 5}{4}$ , $$x = 1$$ или $$x = -1{,}5$$ .

Ответ

−1,5; (−1 − √17)/4; (−1 + √17)/4; 1

Почему так

Повторяющееся выражение заменяем новой переменной, решаем квадратное уравнение и возвращаемся к исходной переменной.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Упражнение 221 к § 13

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки