Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 13

Упражнение 222 к § 13

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите уравнение $$(x^2 + 3)^2 - 11(x^2 + 3) + 28 = 0$$ .

Решение

Пусть $$x^2 + 3 = y$$ . Тогда $$y^2 - 11y + 28 = 0$$ , $$y_1 = 4$$ , $$y_2 = 7$$ .

$$x^2 + 3 = 4$$ , откуда $$x^2 = 1$$ , $x = \pm 1$ .

$$x^2 + 3 = 7$$ , откуда $$x^2 = 4$$ , $x = \pm 2$ .

Ответ

−2; −1; 1; 2

Почему так

Повторяющееся выражение заменяем новой переменной, решаем квадратное уравнение и возвращаемся к исходной переменной.

Условие (кратко)

б) Решите уравнение $$(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0$$ .

Решение

Пусть $$x^2 - 4x = y$$ . Тогда $$y^2 + 9y + 20 = 0$$ , $$y_1 = -4$$ , $$y_2 = -5$$ .

$$x^2 - 4x = -4$$ , откуда $$(x - 2)^2 = 0$$ , $$x = 2$$ .

$$x^2 - 4x = -5$$ , откуда $$x^2 - 4x + 5 = 0$$ , $$D = 16 - 20 < 0$$ — корней нет.

Ответ

x = 2

Почему так

Условие (кратко)

в) Решите уравнение $$(x^2 + x)(x^2 + x - 5) = 84$$ .

Решение

Пусть $$x^2 + x = y$$ . Тогда $$y(y - 5) = 84$$ , $$y^2 - 5y - 84 = 0$$ , $$D = 25 + 336 = 361 = 19^2$$ , $$y_1 = 12$$ , $$y_2 = -7$$ .

$$x^2 + x = 12$$ , откуда $$x^2 + x - 12 = 0$$ , $$x = 3$$ или $$x = -4$$ .

$$x^2 + x = -7$$ , откуда $$x^2 + x + 7 = 0$$ , $$D < 0$$ — корней нет.

Ответ

−4; 3

Почему так