Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 13

Упражнение 223 к § 13

§ 13. Целое уравнение и его корни · тема: Целое уравнение и его корни

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите биквадратное уравнение $$x^4 - 5x^2 - 36 = 0$$ .

Решение

Пусть $$x^2 = y$$ , $y \ge 0$ . Тогда $$y^2 - 5y - 36 = 0$$ , $$y_1 = 9$$ , $$y_2 = -4$$ .

$$x^2 = 9$$ , откуда $x = \pm 3$ ; $$x^2 = -4$$ — корней нет.

Ответ

−3; 3

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите биквадратное уравнение $$y^4 - 6y^2 + 8 = 0$$ .

Решение

Пусть $$y^2 = z$$ . Тогда $$z^2 - 6z + 8 = 0$$ , $$z_1 = 2$$ , $$z_2 = 4$$ .

$$y^2 = 2$$ , откуда $y = \pm\sqrt{2}$ ; $$y^2 = 4$$ , откуда $y = \pm 2$ .

Ответ

−2; −√2; √2; 2

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите биквадратное уравнение $$t^4 + 10t^2 + 25 = 0$$ .

Решение

Левая часть — полный квадрат: $$(t^2 + 5)^2 = 0$$ , то есть $$t^2 = -5$$ .

Квадрат числа не бывает отрицательным, поэтому корней нет. (Иначе: при любом $$t$$ сумма $t^4 + 10t^2 + 25 \ge 25 > 0$ .)

Ответ

Корней нет

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите биквадратное уравнение $$4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$$ .

Решение

Пусть $$x^2 = y$$ . Тогда $$4y^2 - 5y + 1 = 0$$ , $$D = 25 - 16 = 9$$ , $y = \dfrac{5 \pm 3}{8}$ , откуда $$y_1 = 1$$ , $y_2 = \dfrac{1}{4}$ .

$$x^2 = 1$$ , откуда $x = \pm 1$ ; $x^2 = \dfrac{1}{4}$ , откуда $x = \pm\dfrac{1}{2}$ .

Ответ

−1; −1/2; 1/2; 1

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решите биквадратное уравнение $$9x^4 - 9x^2 + 2 = 0$$ .

Решение

Пусть $$x^2 = y$$ . Тогда $$9y^2 - 9y + 2 = 0$$ , $$D = 81 - 72 = 9$$ , $y = \dfrac{9 \pm 3}{18}$ , откуда $y_1 = \dfrac{2}{3}$ , $y_2 = \dfrac{1}{3}$ .

$x^2 = \dfrac{1}{3}$ , откуда $x = \pm\sqrt{\dfrac{1}{3}} = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ; $x^2 = \dfrac{2}{3}$ , откуда $x = \pm\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \pm\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ .

Ответ

−√6/3; −√3/3; √3/3; √6/3

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решите биквадратное уравнение $$16y^4 - 8y^2 + 1 = 0$$ .

Решение

Левая часть — полный квадрат: $$(4y^2 - 1)^2 = 0$$ , то есть $$4y^2 = 1$$ , $y^2 = \dfrac{1}{4}$ .

$y = \pm\dfrac{1}{2}$ .

Ответ

−1/2; 1/2

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки