Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 13

Упражнение 224 к § 13

§ 13. Целое уравнение и его корни · тема: Целое уравнение и его корни

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найдите корни биквадратного уравнения $$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$$ .

Решение

Пусть $$x^2 = y$$ . Тогда $$y^2 - 25y + 144 = 0$$ , $$y_1 = 9$$ , $$y_2 = 16$$ ( $$9 + 16 = 25$$ , $9 \cdot 16 = 144$ ).

$$x^2 = 9$$ , откуда $x = \pm 3$ ; $$x^2 = 16$$ , откуда $x = \pm 4$ .

Ответ

−4; −3; 3; 4

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найдите корни биквадратного уравнения $$y^4 + 14y^2 + 48 = 0$$ .

Решение

Пусть $$y^2 = z$$ . Тогда $$z^2 + 14z + 48 = 0$$ , $$z_1 = -6$$ , $$z_2 = -8$$ .

Оба значения отрицательны, а $y^2 \ge 0$ , поэтому корней нет. (Иначе: $y^4 + 14y^2 + 48 \ge 48 > 0$ .)

Ответ

Корней нет

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найдите корни биквадратного уравнения $$x^4 - 4x^2 + 4 = 0$$ .

Решение

Левая часть — полный квадрат: $$(x^2 - 2)^2 = 0$$ , $$x^2 = 2$$ .

$x = \pm\sqrt{2}$ .

Ответ

−√2; √2

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найдите корни биквадратного уравнения $$t^4 - 2t^2 - 3 = 0$$ .

Решение

Пусть $$t^2 = y$$ . Тогда $$y^2 - 2y - 3 = 0$$ , $$y_1 = 3$$ , $$y_2 = -1$$ .

$$t^2 = 3$$ , откуда $t = \pm\sqrt{3}$ ; $$t^2 = -1$$ — корней нет.

Ответ

−√3; √3

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Найдите корни биквадратного уравнения $$2x^4 - 9x^2 + 4 = 0$$ .

Решение

Пусть $$x^2 = y$$ . Тогда $$2y^2 - 9y + 4 = 0$$ , $$D = 81 - 32 = 49$$ , $y = \dfrac{9 \pm 7}{4}$ , откуда $$y_1 = 4$$ , $y_2 = \dfrac{1}{2}$ .

$$x^2 = 4$$ , откуда $x = \pm 2$ ; $x^2 = \dfrac{1}{2}$ , откуда $x = \pm\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ответ

−2; −√2/2; √2/2; 2

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Найдите корни биквадратного уравнения $$5y^4 - 5y^2 + 2 = 0$$ .

Решение

Пусть $$y^2 = z$$ . Тогда $$5z^2 - 5z + 2 = 0$$ , $$D = 25 - 40 = -15 < 0$$ .

Уравнение относительно $$z$$ корней не имеет, значит, и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ

Корней нет

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки