Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 13

Упражнение 225 к § 13

§ 13. Целое уравнение и его корни · тема: Целое уравнение и его корни

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найдите координаты точек пересечения графика $$y = x^4 - 5x^2 + 4$$ с осями координат.

Решение

Ось $$y$$ : при $$x = 0$$ получаем $$y = 4$$ , точка $(0;\ 4)$ .

Ось $$x$$ — решаем уравнение $$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$$ . Пусть $$x^2 = t$$ , тогда $$t^2 - 5t + 4 = 0$$ , $$t_1 = 1$$ , $$t_2 = 4$$ . Отсюда $x = \pm 1$ , $x = \pm 2$ .

Точки $(-2;\ 0)$ , $(-1;\ 0)$ , $(1;\ 0)$ , $(2;\ 0)$ .

Ответ

(−2; 0), (−1; 0), (1; 0), (2; 0) и (0; 4)

Почему так

Точки на оси x — корни уравнения y = 0, точка на оси y — значение функции при x = 0.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найдите координаты точек пересечения графика $$y = x^4 + 3x^2 - 10$$ с осями координат.

Решение

Ось $$y$$ : при $$x = 0$$ получаем $$y = -10$$ , точка $(0;\ -10)$ .

Ось $$x$$ — решаем уравнение $$x^4 + 3x^2 - 10 = 0$$ . Пусть $$x^2 = t$$ , тогда $$t^2 + 3t - 10 = 0$$ , $$t_1 = 2$$ , $$t_2 = -5$$ . Значение $$-5$$ не подходит ( $x^2 \ge 0$ ), из $$x^2 = 2$$ получаем $x = \pm\sqrt{2}$ .

Точки $(-\sqrt{2};\ 0)$ , $(\sqrt{2};\ 0)$ .

Ответ

(−√2; 0), (√2; 0) и (0; −10)

Почему так

Точки на оси x — корни уравнения y = 0, точка на оси y — значение функции при x = 0.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найдите координаты точек пересечения графика $$y = x^4 - 20x^2 + 100$$ с осями координат.

Решение

Ось $$y$$ : при $$x = 0$$ получаем $$y = 100$$ , точка $(0;\ 100)$ .

Ось $$x$$ — решаем уравнение $$x^4 - 20x^2 + 100 = 0$$ , $$(x^2 - 10)^2 = 0$$ , $$x^2 = 10$$ , $x = \pm\sqrt{10}$ .

Точки $(-\sqrt{10};\ 0)$ , $(\sqrt{10};\ 0)$ — в них график касается оси $$x$$ .

Ответ

(−√10; 0), (√10; 0) и (0; 100)

Почему так

Точки на оси x — корни уравнения y = 0, точка на оси y — значение функции при x = 0.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найдите координаты точек пересечения графика $$y = 4x^4 + 16x^2$$ с осями координат.

Решение

Ось $$y$$ : при $$x = 0$$ получаем $$y = 0$$ , точка $(0;\ 0)$ .

Ось $$x$$ — решаем уравнение $$4x^4 + 16x^2 = 0$$ , $$4x^2(x^2 + 4) = 0$$ . Множитель $$x^2 + 4$$ всегда положителен, поэтому $$x = 0$$ .

График проходит через начало координат и других общих точек с осями не имеет.

Ответ

(0; 0)

Почему так

Точки на оси x — корни уравнения y = 0, точка на оси y — значение функции при x = 0.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки