Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 13

Упражнение 226 к § 13

§ 13. Целое уравнение и его корни · тема: Целое уравнение и его корни

Задача 1

Условие (кратко)

а) Разложите на множители трёхчлен $$x^4 - 47x^2 - 98$$ (повышенной трудности).

Решение

Найдём корни биквадратного уравнения $$x^4 - 47x^2 - 98 = 0$$ . Пусть $$x^2 = y$$ , тогда $$y^2 - 47y - 98 = 0$$ , $$D = 2209 + 392 = 2601 = 51^2$$ , $y = \dfrac{47 \pm 51}{2}$ , откуда $$y_1 = 49$$ , $$y_2 = -2$$ .

Квадратный трёхчлен относительно $$x^2$$ раскладывается так: $$x^4 - 47x^2 - 98 = (x^2 - 49)(x^2 + 2)$$ .

Первый множитель — разность квадратов: $$(x - 7)(x + 7)(x^2 + 2)$$ . Трёхчлен $$x^2 + 2$$ дальше не раскладывается.

Ответ

(x − 7)(x + 7)(x² + 2)

Почему так

Трёхчлен квадратный относительно x², его раскладывают по корням y₁, y₂: (x² − y₁)(x² − y₂).

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Разложите на множители трёхчлен $$x^4 - 85x^2 + 1764$$ (повышенной трудности).

Решение

Пусть $$x^2 = y$$ , тогда $$y^2 - 85y + 1764 = 0$$ , $$D = 7225 - 7056 = 169 = 13^2$$ , $y = \dfrac{85 \pm 13}{2}$ , откуда $$y_1 = 49$$ , $$y_2 = 36$$ .

$$x^4 - 85x^2 + 1764 = (x^2 - 49)(x^2 - 36) = (x - 7)(x + 7)(x - 6)(x + 6)$$ .

Ответ

(x − 6)(x + 6)(x − 7)(x + 7)

Почему так

Трёхчлен квадратный относительно x², его раскладывают по корням y₁, y₂, а затем применяют разность квадратов.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки