Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 13

Упражнение 227 к § 13

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите уравнение $$(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 4(x^2 - 11) = 0$$ .

Решение

$$x^4 - 1 - 4x^2 + 44 = 0$$ , $$x^4 - 4x^2 + 43 = 0$$ .

Пусть $$x^2 = y$$ , тогда $$y^2 - 4y + 43 = 0$$ , $$D = 16 - 172 < 0$$ — корней нет.

Значит, исходное уравнение корней не имеет. (Иначе: $$x^4 - 4x^2 + 43 = (x^2 - 2)^2 + 39 > 0$$ .)

Ответ

Корней нет

Почему так

После раскрытия скобок получается биквадратное уравнение с отрицательным дискриминантом.

Условие (кратко)

б) Решите уравнение $$3x^2(x - 1)(x + 1) - 10x^2 + 4 = 0$$ .

Решение

$$3x^2(x^2 - 1) - 10x^2 + 4 = 0$$ , $$3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$$ .

Пусть $$x^2 = y$$ , тогда $$3y^2 - 13y + 4 = 0$$ , $$D = 169 - 48 = 121$$ , $y = \dfrac{13 \pm 11}{6}$ , откуда $$y_1 = 4$$ , $y_2 = \dfrac{1}{3}$ .

$$x^2 = 4$$ , откуда $x = \pm 2$ ; $x^2 = \dfrac{1}{3}$ , откуда $x = \pm\sqrt{\dfrac{1}{3}} = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ответ

−2; −√3/3; √3/3; 2

Почему так

Биквадратное уравнение заменой y = x² сводится к квадратному; отрицательные значения y корней не дают.