Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 13

Упражнение 228 к § 13

§ 13. Целое уравнение и его корни · тема: Целое уравнение и его корни

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите уравнение $$x^5 + x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 5x + 5 = 0$$ .

Решение

Группируем по два: $$x^4(x + 1) - 6x^2(x + 1) + 5(x + 1) = 0$$ , $$(x + 1)(x^4 - 6x^2 + 5) = 0$$ .

$$x = -1$$ или $$x^4 - 6x^2 + 5 = 0$$ . Пусть $$x^2 = y$$ , тогда $$y^2 - 6y + 5 = 0$$ , $$y_1 = 1$$ , $$y_2 = 5$$ , отсюда $x = \pm 1$ , $x = \pm\sqrt{5}$ .

Корень $$-1$$ повторяется, корней четыре.

Ответ

−√5; −1; 1; √5

Почему так

Группировка выделяет множитель x + 1, остаётся биквадратное уравнение.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите уравнение $$x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 3 = 0$$ .

Решение

$$x^4(x - 1) - 2x^2(x - 1) - 3(x - 1) = 0$$ , $$(x - 1)(x^4 - 2x^2 - 3) = 0$$ .

$$x = 1$$ или $$x^4 - 2x^2 - 3 = 0$$ . Пусть $$x^2 = y$$ , тогда $$y^2 - 2y - 3 = 0$$ , $$y_1 = 3$$ , $$y_2 = -1$$ . Из $$x^2 = 3$$ получаем $x = \pm\sqrt{3}$ , $$x^2 = -1$$ корней не даёт.

Ответ

−√3; 1; √3

Почему так

Группировка выделяет множитель x − 1, остаётся биквадратное уравнение.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки