Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 14

Упражнение 234 к § 14

§ 14. Дробные рациональные уравнения · тема: Дробные рациональные уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение (5y³ − 15y² − 2y + 6)/(y² − 9) = 0.

Решение

ОДЗ: $y^2 - 9 \ne 0$ , то есть $y \ne \pm 3$ .

Разложим числитель группировкой:

\[5y^3 - 15y^2 - 2y + 6 = 5y^2(y - 3) - 2(y - 3) = (y - 3)(5y^2 - 2).\]

Числитель равен нулю при

\(y = 3\)

или

y^2 = 0{,}4

, то есть

y = \pm\sqrt{0{,}4} = \pm\dfrac{\sqrt{10}}{5}

$$y = 3$$ не входит в ОДЗ. Числа $\pm\sqrt{0{,}4}$ подходят: $y^2 - 9 = 0{,}4 - 9 \ne 0$ .

Ответ

y₁ = −√10/5, y₂ = √10/5 (то есть ±√0,4)

Почему так

Числитель раскладывается группировкой, затем корни сверяются с ОДЗ.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение (3y³ − 12y² − y + 4)/(9y⁴ − 1) = 0.

Решение

Знаменатель: $$9y^4 - 1 = (3y^2 - 1)(3y^2 + 1)$$ ; он равен нулю при $y = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ . ОДЗ: $y \ne \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Числитель: $$3y^2(y - 4) - (y - 4) = (y - 4)(3y^2 - 1) = 0$$ , откуда $$y = 4$$ или $y = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Корни $\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ не входят в ОДЗ. Остаётся $$y = 4$$ .

Ответ

y = 4

Почему так

Множитель 3y² − 1 есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому его корни посторонние.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение (6x³ + 48x² − 2x − 16)/(x² − 64) = 0.

Решение

ОДЗ: $x \ne \pm 8$ .

Числитель: $$6x^2(x + 8) - 2(x + 8) = 2(x + 8)(3x^2 - 1) = 0$$ , откуда $$x = -8$$ или $x^2 = \dfrac{1}{3}$ , $x = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

$$x = -8$$ не входит в ОДЗ. Корни $\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ подходят.

Ответ

x₁ = −√3/3, x₂ = √3/3

Почему так

Числитель раскладывается группировкой, корень −8 обращает знаменатель в нуль.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение (y³ − 4y² − 6y + 24)/(y³ − 6y) = 0.

Решение

Знаменатель: $$y^3 - 6y = y(y^2 - 6)$$ . ОДЗ: $y \ne 0$ , $y \ne \pm\sqrt{6}$ .

Числитель: $$y^2(y - 4) - 6(y - 4) = (y - 4)(y^2 - 6) = 0$$ , откуда $$y = 4$$ или $y = \pm\sqrt{6}$ .

Корни $\pm\sqrt{6}$ не входят в ОДЗ. Остаётся $$y = 4$$ .

Ответ

y = 4

Почему так

Общий множитель y² − 6 числителя и знаменателя даёт посторонние корни.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки