Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 14

Упражнение 235 к § 14

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 2/(x − 2) − 10/(x + 3) = 50/(x² + x − 6) − 1.

Решение

$$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$$ . ОДЗ: $x \ne 2$ , $x \ne -3$ .

Умножим обе части на $$(x - 2)(x + 3)$$ :

\[2(x + 3) - 10(x - 2) = 50 - (x^2 + x - 6),\]

\[-8x + 26 = -x^2 - x + 56,\]

\[x^2 - 7x - 30 = 0.\]

По теореме Виета

\(x_1 = 10\)

\(x_2 = -3\)

$$x = -3$$ не входит в ОДЗ.

Ответ

x = 10

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель (x − 2)(x + 3), в том числе слагаемое −1, и отбрасывают посторонний корень.

Условие (кратко)

б) Решить уравнение (x + 5)/(x − 1) + (2x − 5)/(x − 7) − (30 − 12x)/(8x − x² − 7) = 0.

Решение

$$8x - x^2 - 7 = -(x^2 - 8x + 7) = -(x - 1)(x - 7)$$ , поэтому уравнение можно записать так:

\dfrac{x + 5}{x - 1} + \dfrac{2x - 5}{x - 7} + \dfrac{30 - 12x}{(x - 1)(x - 7)} = 0.

ОДЗ:

x \ne 1

x \ne 7

Умножим на $$(x - 1)(x - 7)$$ :

\[(x + 5)(x - 7) + (2x - 5)(x - 1) + 30 - 12x = 0,\]

\[x^2 - 2x - 35 + 2x^2 - 7x + 5 + 30 - 12x = 0,\]

3x^2 - 21x = 0,\quad 3x(x - 7) = 0.

Корни

\(0\)

\(7\)

;

\(x = 7\)

не входит в ОДЗ.

Ответ

x = 0

Почему так

Знаменатель 8x − x² − 7 раскладывается как −(x − 1)(x − 7), после чего виден общий знаменатель.