Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 14

Упражнение 236 к § 14

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти корни уравнения (3x − 2)/(x − 1) − (2x + 3)/(x + 3) = (12x + 4)/(x² + 2x − 3).

Решение

$$x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$$ . ОДЗ: $x \ne 1$ , $x \ne -3$ .

Умножим на $$(x - 1)(x + 3)$$ :

\[(3x - 2)(x + 3) - (2x + 3)(x - 1) = 12x + 4,\]

\[3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3 = 12x + 4,\]

\[x^2 - 6x - 7 = 0.\]

По теореме Виета

\(x_1 = 7\)

\(x_2 = -1\)

. Оба входят в ОДЗ.

Ответ

x₁ = −1, x₂ = 7

Почему так

Общий знаменатель — x² + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3); найденные корни сверяются с ОДЗ.

Условие (кратко)

б) Найти корни уравнения (5x − 1)/(x + 7) − (2x + 2)/(x − 3) + 63/(x² + 4x − 21) = 0.

Решение

$$x^2 + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3)$$ . ОДЗ: $x \ne -7$ , $x \ne 3$ .

Умножим на $$(x + 7)(x - 3)$$ :

\[(5x - 1)(x - 3) - (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0,\]

\[5x^2 - 16x + 3 - 2x^2 - 16x - 14 + 63 = 0,\]

\[3x^2 - 32x + 52 = 0.\]

\(D = 1024 - 624 = 400\)

x = \dfrac{32 \pm 20}{6}

, откуда

\(x_1 = 2\)

x_2 = \dfrac{52}{6} = 8\dfrac{2}{3}

. Оба входят в ОДЗ.

Ответ

x₁ = 2, x₂ = 8 2/3

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель (x + 7)(x − 3) и решают квадратное уравнение.

Условие (кратко)

в) Найти корни уравнения x/(x² + 4x + 4) = 4/(x² − 4) − 16/(x³ + 2x² − 4x − 8).

Решение

Разложим знаменатели: $$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$ , $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ ,

\[x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = x^2(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)^2(x - 2).\]

Общий знаменатель

\((x + 2)^2(x - 2)\)

. ОДЗ:

x \ne \pm 2

Умножим на него:

\[x(x - 2) = 4(x + 2) - 16,\]

x^2 - 2x = 4x - 8,\quad x^2 - 6x + 8 = 0.

Корни

\(2\)

\(4\)

;

\(x = 2\)

не входит в ОДЗ.

Ответ

x = 4

Почему так

Наименьший общий знаменатель — (x + 2)²(x − 2); корень 2 посторонний.