Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 14

Упражнение 237 к § 14

Задача 1

Условие (кратко)

а) При каких a сумма дробей (a + 1)/(a − 2) и (a − 4)/(a + 1) равна дроби (3a + 3)/(a² − a − 2)?

Решение

Составим уравнение $\dfrac{a + 1}{a - 2} + \dfrac{a - 4}{a + 1} = \dfrac{3a + 3}{a^2 - a - 2}$ .

$$a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1)$$ . ОДЗ: $a \ne 2$ , $a \ne -1$ .

Умножим на $$(a - 2)(a + 1)$$ :

\[(a + 1)^2 + (a - 4)(a - 2) = 3a + 3,\]

\[a^2 + 2a + 1 + a^2 - 6a + 8 = 3a + 3,\]

\[2a^2 - 7a + 6 = 0.\]

\(D = 49 - 48 = 1\)

a = \dfrac{7 \pm 1}{4}

, откуда

\(a = 2\)

или

\(a = 1{,}5\)

\(a = 2\)

не входит в ОДЗ.

Ответ

a = 1,5

Почему так

Условие записывают дробным уравнением и решают умножением на общий знаменатель с проверкой по ОДЗ.

Условие (кратко)

б) При каких a разность дробей (3a − 5)/(a² − 1) и (6a − 5)/(a − a²) равна дроби (3a + 2)/(a² + a)?

Решение

Составим уравнение $\dfrac{3a - 5}{a^2 - 1} - \dfrac{6a - 5}{a - a^2} = \dfrac{3a + 2}{a^2 + a}$ .

Знаменатели: $$(a - 1)(a + 1)$$ , $$a - a^2 = -a(a - 1)$$ , $$a(a + 1)$$ . Поэтому

\dfrac{3a - 5}{(a - 1)(a + 1)} + \dfrac{6a - 5}{a(a - 1)} = \dfrac{3a + 2}{a(a + 1)}.

ОДЗ:

a \ne 0

a \ne \pm 1

Умножим на $$a(a - 1)(a + 1)$$ :

\[a(3a - 5) + (6a - 5)(a + 1) = (3a + 2)(a - 1),\]

\[9a^2 - 4a - 5 = 3a^2 - a - 2,\]

6a^2 - 3a - 3 = 0,\quad 2a^2 - a - 1 = 0.

Корни

\(a = 1\)

a = -\dfrac{1}{2}

;

\(a = 1\)

не входит в ОДЗ.

Ответ

a = −0,5

Почему так

Минус выносят из знаменателя a − a² = −a(a − 1), чтобы увидеть общий знаменатель a(a − 1)(a + 1).