Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 14

Упражнение 238 к § 14

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти корни уравнения 1/(x − 7) − 1/(x − 1) = 1/(x − 10) − 1/(x − 9).

Решение

ОДЗ: $x \ne 1;\ 7;\ 9;\ 10$ .

Выполним вычитание в каждой части отдельно:

\dfrac{(x - 1) - (x - 7)}{(x - 7)(x - 1)} = \dfrac{(x - 9) - (x - 10)}{(x - 10)(x - 9)},

\dfrac{6}{x^2 - 8x + 7} = \dfrac{1}{x^2 - 19x + 90}.

По свойству пропорции

\(6(x^2 - 19x + 90) = x^2 - 8x + 7\)

, откуда

\(5x^2 - 106x + 533 = 0\)

$D = 11\,236 - 10\,660 = 576 = 24^2$ , $x = \dfrac{106 \pm 24}{10}$ , откуда $x_1 = 8{,}2$ , $$x_2 = 13$$ . Оба входят в ОДЗ.

Ответ

x₁ = 8,2, x₂ = 13

Почему так

Разности дробей с соседними знаменателями дают дроби с числовыми числителями — так уравнение становится пропорцией.

Условие (кратко)

б) Найти корни уравнения 1/(x + 3) − 1/(x + 9) = 1/(x + 5) − 1/(x + 21).

Решение

ОДЗ: $x \ne -3;\ -5;\ -9;\ -21$ .

Вычтем дроби в каждой части:

\dfrac{6}{(x + 3)(x + 9)} = \dfrac{16}{(x + 5)(x + 21)}.

Отсюда

\(6(x^2 + 26x + 105) = 16(x^2 + 12x + 27)\)

, сократим на 2:

\(3x^2 + 78x + 315 = 8x^2 + 96x + 216\)

, то есть

\(5x^2 + 18x - 99 = 0\)

$$D = 324 + 1980 = 2304 = 48^2$$ , $x = \dfrac{-18 \pm 48}{10}$ , откуда $x_1 = -6{,}6$ , $$x_2 = 3$$ . Оба входят в ОДЗ.

Ответ

x₁ = −6,6, x₂ = 3

Почему так

Вычитание дробей в каждой части по отдельности приводит к пропорции с квадратными знаменателями.