Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 14

Упражнение 239 к § 14

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 1/(x − 4) + 1/(x − 2) = 1/(x + 4) + 1/(x − 5). Задание для работы в парах.

Решение

ОДЗ: $x \ne -4;\ 2;\ 4;\ 5$ .

Удобно перенести дроби так, чтобы в каждой части была разность:

\dfrac{1}{x - 4} - \dfrac{1}{x + 4} = \dfrac{1}{x - 5} - \dfrac{1}{x - 2}.

\dfrac{8}{x^2 - 16} = \dfrac{3}{x^2 - 7x + 10}.

Отсюда

\(8(x^2 - 7x + 10) = 3(x^2 - 16)\)

\(5x^2 - 56x + 128 = 0\)

$$D = 3136 - 2560 = 576$$ , $x = \dfrac{56 \pm 24}{10}$ , откуда $x_1 = 3{,}2$ , $$x_2 = 8$$ . Оба входят в ОДЗ.

Ответ

x₁ = 3,2, x₂ = 8

Почему так

Перегруппировка дробей в разности даёт пропорцию с простыми числителями.

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 1/(x + 1) + 1/(x + 3) = 1/(x + 28) + 1/x. Задание для работы в парах.

Решение

ОДЗ: $x \ne 0;\ -1;\ -3;\ -28$ .

Запишем уравнение в виде разностей:

\dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x + 28} - \dfrac{1}{x + 3},

\dfrac{-1}{x(x + 1)} = \dfrac{-25}{(x + 28)(x + 3)}.

Отсюда

\((x + 28)(x + 3) = 25x(x + 1)\)

\(x^2 + 31x + 84 = 25x^2 + 25x\)

\(24x^2 - 6x - 84 = 0\)

, то есть

\(4x^2 - x - 14 = 0\)

$$D = 1 + 224 = 225$$ , $x = \dfrac{1 \pm 15}{8}$ , откуда $$x_1 = 2$$ , $x_2 = -\dfrac{14}{8} = -1\dfrac{3}{4}$ . Оба входят в ОДЗ.

Ответ

x₁ = −1 3/4, x₂ = 2

Почему так

Разности дробей с близкими знаменателями упрощают уравнение до пропорции.